Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 7:56
-
Καλημέρα Διονύση.
Η καλύτερη και η πιο αναλυτική παρουσίαση που έχω διαβάσει πάνω στο θέμα «Στάσιμο».
Θα ήταν καλό να την μελετήσουν όλοι οι φίλοι, αφού είναι μια «καθαρή» και ουσιαστική θέση που μπορεί να μας απαλλάξει από πολλές παρανοήσεις.
Να είσαι καλά Διονύση. Σε ευχαριστούμε.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 10:34
-
Παραμένεις πάντα Μητρόπουλος.
Μια ένσταση. Λες:
Αν η συχνότητα της πηγής διαφέρει πολύ από τις κανονικές συχνότητες του μέσου τότε η κίνηση του μέσου είναι τυχαία, άστατη και δεν δημιουργείται στάσιμο.
Η ένστασή μου είναι ότι θα σχηματιστεί στάσιμο σε οιαδήποτε τυχαία συχνότητα.
Όπως στη συνήθη εξαναγκασμένη έχουμε ταλάντωση για κάθε συχνότητα , με ασήμαντο, μικρό, ή σημαντικό πλάτος έτσι και εδώ.
Κάθε συχνότητα θα δώσει στάσιμο. Αν η συχνότητα του ταλαντωτή είναι μακριά από τις κανονικές στχνότητες το πλάτος θα είναι μικρό. Όσο τις πλησιάζει αυξάνεται το πλάτος. Η φύση δεν επιθυμεί ασυνέχειες του τύπου «στάσιμο για μια συχνότητα και τίποτα για μια άλλη».
Φαίνεται πολύ καλά στο βίντεο του ΕΚΦΕ Καλλίπολης. Φαίνεται και στο πείραμα που έκανε ο Βαγγέλης με το λαστιχάκι. Ταλαντωτής στα 100Hz και στάσιμα. Τέντωνε το λαστιχάκι (αλλαγή ιδιοσυχνοτήτων) αλλά τα στάσιμα δεν χάνονταν. Το πλάτος άλλαζε και μεγιστοποιείτο για κάποιο τέντωμα αλλά η μεταβολή του πλάτους των κοιλιών ήταν συνεχής.
Σχόλιο από τον/την Σαράντος Οικονομίδης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 11:16
-
Μπράβο Διονύση. Μου άρεσε πολύ ιδίως αυτό:
Υπάρχει όμως η ένσταση ότι σε ένα μακρύ τεντωμένο σκοινί, αν το κουνάμε με το χέρι, μπορούμε να δημιουργήσουμε στάσιμο οποιασδήποτε συχνότητας. Με προβλημάτισε κι εμένα αυτό, αλλά νομίζω η ερμηνεία είναι η εξής:
Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο σκοινί (άρα και οι ιδιοσυχνότητες δημιουργίας στασίμου) εξαρτάται από την τάση του. Όταν το κρατάμε με το χέρι είναι πρακτικά αδύνατο να διατηρούμε σταθερή τη δύναμη με την οποία τείνουμε το σκοινί και ταυτόχρονα να το κουνάμε πάνω – κάτω. Επιπλέον, ένα σκοινί είναι πρακτικά μη εκτατό για το εύρος των δυνάμεων που ασκεί το χέρι. Επομένως, η «ελαστικότητα του μέσου» προέρχεται από την «ελαστικότητα» των συσπάσεων στους μύες του χεριού μας και κάθε άλλο παρά σταθερό είναι το μέτρο της! Δεν μπορούμε δηλαδή να μιλάμε για κανονικούς τρόπους ταλάντωσης σε ένα τέτοιο σκοινί.
Με το τεντωμένο μακρύ ελατήριο δεμένο στο ένα άκρο είναι καλύτερα τα πράγματα, γιατί η τάση του δεν επηρεάζεται από μικρές αυξομειώσεις του μήκους. Εκεί είναι τα πράγματα καλύτερα και μπορούμε να υπολογίσουμε και να επαληθεύσουμε τις συχνότητες δημιουργίας στασίμων. Για τη διατήρησή τους απαιτείται μάλιστα ελάχιστη προσφορά ενέργειας και το χέρι μας γίνεται πρακτικά δεσμός.
Τελικά στο βίντεο του ΕΚΦΕ Καλίπολης νομίζω ότι δεν μπορούμε να μιλάμε για στάσιμο σε κάθε συχνότητα. Άσε που δεν φαίνεται κάτι τέτοιο. Θα με ενδιέφερε η γνώμη σου και η απάντηση στο Γιάννη.
Φεύγω τώρα γιατί έχω δουλειά.
Να είσαι καλά
Σχόλιο από τον/την Μαλακασιώτης Νικόλαος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 11:16
-
Καλημέρα σε όλους σας μαθαίνω πολύ περισσότερα πράγματα από αυτά που περίμενα μπαίνοντας στο υλικονέτ και γι’αυτό είμαι ευγνώμων. Θέλω να μοιραστώ κάποιες σκέψεις μου.
1. Αν σε ένα μέσο που περιορίζεται από οριακές επιφάνειες πάνω στις οποίες παρατηρείται ολική ανάκλαση της κύμανσης,διεγερθεί,το αποτέλεσμα θα είναι μια κύμανση που δεν διαδίδεται ή αλλιώς στάσιμο κύμα.
Στην περίπτωση αυτή μετά τον σχηματισμό του πρώτου δεσμού δεν υπάρχει κανένα κύμα που διαδίδεται στο χώρο. Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός, αρχίζει η συμβολή του ενός κύματος, με το ανακλώμενό του,μέχρι να σχηματιστεί ο επόμενος δεσμός. Μετά το σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δυο δεσμούς εγκλωβίζεται. Θεωρούμε δηλαδή κάθε δεσμό σημείο ανάκλασης.
Μόνο τα ακλόνητα σημεία είναι πραγματικοί δεσμοί,τα υπόλοιπα είναι <σχεδόν> δεσμοί ώστε να διατηρήται η ενέργεια της ταλάντωσης των μορίων του γραμμικού μέσου.
2. Στη περίπτωση της εικόνας 2.32 σελ.66 του σχολικού περιγράφει ένα κυματικό παλμό που διαδίδεται από μέσο 1 σε μέσο 2 έν μέρει ανακλάται με μεταβολή της φάσης κατά 180^ και έν μέρει διαθλάται.
Εάν είχαμε οδεύων κύμα,σιο όριο πού ενώνει τις χορδές μερικώς θα ανακλαστεί και μερικώς θα περάσει.
Το πλάτος του ανακλώμενου θα είναι μικρότερο από εκείνου του προσπίπτοντος,επειδή το διερχόμενο κύμα συνεχίζει κατα μήκος της χορδής και μεταφέρει μέρος της προσπίπτουσας ενέργειας. Αν η δεύτερη χορδή έχει μεγαλύτερη γραμμική πυκνότητα από την πρώτη, το ανακλώμενό κύμα υφίσταται μεταβολή της φάσης κατά 180^. Επειδή όμως το πλάτος του είναι μικρότερο από εκείνο του αρχικού δεν θα είναι δεσμός αλλά θα κινείται. Ετσι μεταφέρεται ενέργεια στη δεύτερη χορδή.
Αν όμως η δεύτερη χορδή έχει μικρότερη γραμμική πυκνότητα ή καλύτερα να είναι μια πολύ μακριά και ελαφριά χορδή πετυχαίνουμε <ελεύθερο άκρο > αφού δεν πραγματοποιήται μεταβολή φάσης και η ενέργεια που μεταφέρεται στη δεύτερη θεωρείται αμελητέα .
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 11:41-
Γιάννη, είχα γράψει παλιότερα:
«Μια γενική τοποθέτηση είναι ότι όταν έχουμε ένα νήμα με σταθερό το ένα του άκρο και θέσουμε σε ταλάντωση το άλλο του άκρο, δεν έχουμε πρόβλημα συντονισμού, απλά πάνω στο νήμα θα σχηματισθεί ένα στάσιμο, όπου στο ελεύθερο άκρο του, μπορούν να συμβούν τα πάντα. Δεσμός ή κοιλία ή κάποιο ενδιάμεσο πλάτος.
Φαινόμενο συντονισμού έχουμε στην περίπτωση που είναι καθορισμένο εξαρχής, λόγω συνθηκών, τι θα συμβεί πάνω στο νήμα. Αν π.χ. τα δυο του άκρα είναι σταθερά, εκεί θα σχηματισθούν δεσμοί, οπότε για να μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο και όχι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση θα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να είναι ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες του νήματος.Γιατί ιδιοσυχνότητες και όχι ιδιοσυχνότητα; Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου και μιας μάζας κατανεμημένης σε ορισμένη έκταση (ένα γραμμικό ελαστικό μέσο).»
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 11:45-
Νικόλαε, δες μια παλιότερη ανάρτηση:
Κύμα κατά μήκος δύο νημάτων.
Σχόλιο από τον/την Μαλακασιώτης Νικόλαος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 12:25
-
Δεν είχα δει την ανάρτησης σας Κ. Μάργαρη αλλά συμφωνώ με αυτά που αναφέρεται. Σας ευχαριστώ για τον χρόνο σας
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 12:38-
Νικόλαε, λέγε με Διονύση!
Ακούγεται καλύτερα….
Σχόλιο από τον/την Σαράντος Οικονομίδης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 15:49
-
Καλησπέρα σας. Όπως το θέτει ο Διονύσης ο Μάργαρης με καλύπτει πλήρως. Αν αυτό εννοούσε και ο Γιάννης όλα εντάξει.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 15:59
-
Σαράντο εννοώ αυτό που στέλνω τώρα.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 16:15
-
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Έχω κάποιες ενστάσεις και κάποιες απορίες.
Φαίνεται ότι η λύση της κυματικής εξίσωσης χωρίς αποσβέσεις να μην επιβεβαιώνει κάποιες θέσεις.
Έχοντας διαθέσιμο χρόνο αυτήν την περίοδο ξανακοίταξα μια παλιά δουλειά μου στην οποία επέλυα την κυματική εκίσωση με διάφορες συνοριακές συνθήκες.
Ο παρακάτω σύνδεσμος παραπέμπει σε ενα zip αρχείο που περιέχει μια εφαρμογή σε visual basic.
Αν έχετε διάθεση θα ήθελα τα σχόλιά σας για τις περιπτώσεις που μοιάζουν αφύσικες ή έξω από τα αναμενόμενα.
Επιφυλάσσομαι για γραπτό κείμενο.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 16:17
-
Ένα άρθρο. Αν βαριέστε πηγαίνετε στη σελίδα 4.
Δεν είναι αναγκαίο να επικαλούμαι άρθρα. Σε ένα ταλαντευόμενο έλασμα συνδέστε ένα λαστιχάκι.
Τραβάτε και χαλαρώνετε το λαστιχάκι μέχρι να πετύχουμε στάσιμο. Όταν το πετύχουμε τεντώστε ελαχιστοελάχιστα. Τι κάνουμε;
Αυξάνουμε την ταχύτητα και με δεδομένη την σταθερότητα της συχνότητας το μήκος κύματος. Τι θα γίνει;
Θα εξαφανιστεί το στάσιμο;
Όχι θα μειωθεί ελαφροελαφρότατα το πλάτος. Συνεχίζοντας το πλάτος θα γίνει αμελητέο.
Τι έχει συμβεί την στιγμή αυτήν; Η αρχή έχει γίνει κοιλία και το πλάτος ταλάντωσης είναι ίσο με αυτό του ελάσματος.
Συνεχίζουμε τεντώνοντας ελαφρότατα και με υπομονή μεγάλη. Το πλάτος αυξάνει και αυξάνει μέχρι να πετύχουμε νέα μεγιστοποίηση. τη στιγμή της νέας μεγιστοποίησης η άκρη είναι σχεδόν δεσμός με την έννοια ότι το πλάτος του στάσιμου είναι 5mm ενώ το πλάτος ταλάντωσης του ελάσματος δεν είναι ούτε 1mm.
Η μεταβολή λοιπόν του πλάτους είναι συνεχής και δεν έχουμε στάσιμα μόνο σε μερικές συχνότητες.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 16:20
-
Έδωσα λάθος Link.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 16:27
-
Βαγγέλη οι διαφορά μεγέθους των πλατών στάσιμου-διεγέρτη είναι πολύ μεγαλύτερες σε πειράματα από αυτές που δείχνει το applet.
Η προσομοίωση που έστειλα είναι συνεπής με τις εξισώσεις που αναφέρω στα pdf και αναφέρει και ο αλλοδαπός αρθρογράφος.
Το στάσιμο πιστεύω πως δεν είναι παρά μια εξαναγκασμένη ταλάντωση. Θα πραγματοποιηθεί σε κάθε συχνότητα. Αν θέλεις σόου πρέπει να βγάλεις δεσμό (σχεδόν) στο σημείο σύνδεσης του διεγέρτη. Για να γίνει αυτό πρέπει να ρίξεις μια από τις συχνότητες της χορδής.
Αν αρνηθείς να το κάνεις θα γίνει στάσιμο αλλά λιγότερο θεαματικό.
Πιστεύω ότι γνωστά applet που δείχνουν στάσιμα μόνο σε διακριτές συχνότητες και τίποτα σε ενδιάμεσες είναι λάθος. Η φύση απεχθάνεται τις ασυνέχειες.
Αν στάσιμα γίνονταν μόνο σε ορισμένες συχνότητες , επειδή δεν υπάρχουν σταθερές συχνότητες, δεν θα είχαμε δει ποτέ στάσιμο στη ζωή μας.
Τα ταλαντευόμενα ελάσματα έχουν σταθερή συχνότητα;
Οι διαταραχές αυτές της συχνότητας δεν θα έπρεπε να καταστρέφουν το στάσιμο;
Σχόλιο από τον/την Μαλακασιώτης Νικόλαος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 16:58
-
Μπράβο Γιάννη,πολύ κατανοητά στο πείραμα,δεν μπορω να ανοίξω την προσομοίωση.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 17:01-
Νίκο πρόκειται για προσομοίωση του interactive physics
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 18:08
-
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Τι είναι αυτό που ψάχνουμε να δούμε; Εγώ βλέπω να μην δημιουργείται στάσιμο κύμα, αντίθετα με το Γιάννη, που μάλλον βλέπει παντού στάσιμα….
Η εφαρμογή που έδωσες δεν έχει αποσβέσεις, ενώ δίνει την «πηγή» να διατηρεί σταθερό πλάτος.
Νομίζω ότι σωστά το πράγμα είναι πολύπλοκο. Η κατάσταση μου θυμίζει την εξαναγκασμένη ταλάντωση με μηδενική απόσβεση. Δεν αποκαθίσταται ποτέ μόνιμη κατάσταση, αλλά συνεχώς ο συντονιστής παίρνει ενέργεια μεγαλώνοντας το πλάτος της ταλάντωσής του.
Γιάννη γνωρίζω τις απόψεις σου για τον σχηματισμό πάντα στάσιμου, αλλά δεν με πείθεις. Στηρίζεσαι στο πείραμα, αλλά το συμπέρασμα για το σχηματισμό ή όχι, το στηρίζεις σε μια εκτίμηση «με το μάτι», στο οποίο δεν έχω εμπιστοσύνη. Τα τελευταία χρόνια έδειξα στην τάξη ένα «στάσιμο» με ένα λάστιχο και δύο μοτεράκια. Το λάστιχο έκανε μια περίεργη περιστροφή και «είδαμε» και θαυμάσαμε τη δημιουργία του στάσιμου…
Στο πρώτο σχήμα η πηγή είναι στο άκρο του νήματος μήκους L και η εικόνα αυτή παραπέμπει στην συνθήκη L=3∙λ/2 = 3∙υ/2f, για μια ορισμένη συχνότητα. Στο σχήμα αυτό η πηγή ουσιαστικά ταλαντώνεται με κάποιο μικρό πλάτος,(μετά την δημιουργία και ολοκλήρωση του παραπάνω σχηματισμού) τέτοιο ώστε να παρέχει ενέργεια στη χορδή και να αναπληρώνει τις απώλειες λόγω αποσβέσεων. Και οι δεσμοί είναι στην πράξη σχεδόν δεσμοί, για τον ίδιο λόγο.
Αν αλλάξουμε τη συχνότητα της πηγής, χωρίς να μεταβάλλουμε την δύναμη που τεντώνει τη χορδή (συνεπώς και την ταχύτητα του κύματος στο μέσον), δεν θα πρέπει να μεταβληθεί το πλάτος και θα ισχύει η ίδια με παραπάνω εξίσωση;
Ας το δούμε στο μεσαίο σχήμα που η πηγή δεν είναι στο άκρο και ας υποθέσουμε ότι το πλάτος της πηγής είναι ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ Α, σταθερό. Στο αριστερό άκρο υποχρεωτικά θα πρέπει να δημιουργηθεί δεσμός, όπως και στο δεξιό, ενώ στη θέση της πηγής το πλάτος πρέπει να είναι Α. Όλα αυτά τα πετύχαμε για μια ορισμένη συχνότητα, όπου L=3∙λ/2 = 3∙υ/2f. Τι λες, θα το πετύχεις και αν αυξήσεις λίγο τη συχνότητα της πηγής και όχι για μια επόμενη συχνότητα για την οποία L=4∙υ/2f1, όπως στο 3ο σχήμα;
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 18:37
-
Διονύση ρίξε μια ματιά στο άρθρο που έχω στείλει και πέρυσι.
Αν βαριέσαι διάβασε μόνο τη σελίδα 4.
Πρόσεξε και τον όρο αντισυντονισμός (antiresonance).
Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 5 Ιούνιος 2013 στις 18:49
-
Θα συμφωνήσω με όσους από τους προλαλήσαντες υποστήριξαν ότι μόνο μερικά ( δηλαδή όχι άπειρα ) χαρακτηριστικά σχήματα ταλάντωσης – στάσιμα, μπορούν να προκύψουν.
Σε κάθε ένα από τα σχήματα αυτά – ιδιομορφές ή ιδιοκαταστάσεις αντιστοιχεί μια χαρακτηριστική συχνότητα , ιδιοσυχνότητα που ως γνωστό καθορίζεται από τη σχέση
Υπάρχει όμως το ενδεχόμενο μια τεντωμένη χορδή όμως πχ ενός μουσικού οργάνου αν τσιμπηθεί καταλλήλως… και μη αρμονικώς , να ταλαντωθεί σύνθετα δηλαδή η κίνησή της να περιέχει και τη θεμελιώδη και άλλες αρμονικές.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 18:49
-
Στην πρώτη εικόνα σου το πλάτος είναι μέγιστο.
Στη δεύτερη είναι πολύ μικρό.
Στην τρίτη εικόνα (αντισυντονισμός) το πλάτος είναι ασήμαντο τόσο όσο του διεγέρτη δηλαδή 1mm περίπου.
Τα σχεδιάζεις να έχουν το ίδιο πλάτος κάτι που διαψεύδει και το πείραμα και το άρθρο.
Αν οι συχνότητες συντονισμού είναι 50Hz, 100Hz … και οι συχνότητες αντισυντονισμού 25Hz, 75Hz….. τι θα γίνει αν βάλω συχνότητα 52Hz;
Τι θα γίνει αν βάλω 30 Hz ;
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 18:54
Σύμφωνα με τους τύπους και του άρθρου και αυτούς που είχα βγάλει η μεταβολή του πλάτους είναι:
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 18:56
Επειδή όμως υπάρχουν αποσβέσεις και επίσης το μέσον μπαίνει σε μη γραμμικές παραμορφώσεις η μεταβολή του πλάτους είναι:
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 19:05
Μανώλη διάβασε το άρθρο.
Οι θεμελιώδης και οι αρμονικές είναι οι συχνότητες της ελεύθερης ταλάντωσης.
Υπάρχει και εξαναγκασμένη. Είναι όπως στον απλό ταλαντωτή που έχει την ιδιοσυχνότητά του αλλά μπορεί να ταλαντωθεί σε οιαδήποτε συχνότητα με κόστος όμως στο πλάτος.
Αν βαριέσαι σελίδα 4.
Είναι άλλο θέμα αυτό και άλλο οι διάκριτες συχνότητες μιας χορδής.
Το τι συμβαίνει φαίνεται στην προσομοίωση που έχω στείλει παραπάνω.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 19:11
Πως να το πω αλλιώς.
Τεντώνω ένα ελατήριο με μπαλάκι και αυτό ταλαντώνεται με μία συχνότητα.
Τεντώνω χορδή και αυτή ταλαντώνεται με ένα μείγμα αρμονικών. Αυτές που βγάζουμε στο χαρτί.
Στην εξαναγκασμένη όμως το μπαλάκι ταλαντεύεται με τη συχνότητα του διεγέρτη μετά τα μεταβατικά φαινόμενα. Αυτό συμβαίνει και στη χορδή. Ταλαντεύεται όπως θέλεις εσύ.
Αυτό δεν είναι ιδιόμορφη κυματική κατάσταση αλλά (το άρθρο πάλι) στάσιμο με πλάτος που εξαρτάται από το πόσο κοντά είναι η συχνότητα του διεγέρτη σε μια από τις αρμονικές.
Αν δεν συμφωνείτε εντοπίστε το λάθος του άρθρου ή των pdf που έστειλα.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 19:18
Συνάδελφοι καλησπέρα,
Να ευχαριστήσω κατ’ αρχήν τους αγαπητούς φίλους Διονύση, Γιάννη, Σαράντο, Νικόλαο, Βαγγέλη για τα σχόλιά τους και για τα καλά λόγια 🙂
Γιάννη να κάνω κι εγώ μια … αντι-ένσταση 🙂
Νομίζω κατ’ αρχήν πως έχεις δίκιο για το γεγονός ότι και για συχνότητες διέγερσης μακριά από τις κανονικές του μέσου μπορεί να εμφανίζονται δεσμοί και κοιλίες.
Ίσως να είναι λάθος η πρόβλεψη ότι η κίνηση του μέσου θα είναι τότε ακανόνιστη.
Το ερώτημα που μπαίνει όμως είναι το εξής.
Μια τέτοια κίνηση του μέσου, παρόλο που έχει μορφή παραπλήσια με το στάσιμο, είναι στάσιμο;
Μήπως πρόκειται απλά για φαινόμενο συμβολής, όπως π.χ. αυτό που συμβαίνει αν βάλουμε ένα μεγάφωνο μπροστά από ένα τοίχο, όπου επίσης εντοπίζουμε σημεία ενίσχυσης και απόσβεσης του ήχου;
Εξηγούμαι αναλυτικά.
Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής μπορεί πράγματι να εκτελεί αρμονική ταλάντωση σε οποιαδήποτε συχνότητα, ακόμα και μακριά από το συντονισμό, χωρίς όμως να φτάνει το πλάτος σε μεγάλες τιμές.
Ακόμα και χωρίς αποσβέσεις το πλάτος δεν απειρίζεται διότι η σύζευξη με το διεγέρτη είναι ασθενής. Γιατί όχι όμως; Δεν υπάρχει συνεχής προσφορά ενέργειας;
Νομίζω η εξήγηση είναι ότι η ροή ενέργειας είναι αμφίδρομη. Ο ταλαντωτής δεν μπορεί να συγκρατήσει την προσφερόμενη ενέργεια και την επιστρέφει. Υπάρχει συνεχής ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ διεγέρτη και ταλαντωτή στην ασθενή σύζευξη, με αποτέλεσμα παρά την έλλειψη αποσβέσεων να σταθεροποιείται το πλάτος σε ορισμένη τιμή.
Αν διακοπεί ξαφνικά η σύνδεση με το διεγέρτη και το σύστημα κλείσει ενεργειακά, η μηχανική ενέργεια που εγκλωβίστηκε θα αναγκάσει τον ταλαντωτή να συνεχίσει να ταλαντώνεται, αλλά πλέον με τον δικό του μοναδικό τρόπο, με την ιδιοσυχνότητά του.
Έχω την αίσθηση ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στην περίπτωση που αναγκάζουμε το λάστιχο να ταλαντώνεται με συχνότητες διαφορετικές από τις δικές του.
Υπάρχει το στερεωμένο άκρο, όπου το δημιουργούμενο από την πηγή κύμα ανακλάται με αντίθετη φάση, συμβάλλει με το αρχικό και έχουμε εικόνα συμβολής, δεσμούς και κοιλίες, αλλά στο άλλο άκρο το σύστημα είναι ενεργειακά ανοικτό.
Η προσφερόμενη ενέργεια δεν εγκλωβίζεται αλλά ρέει αμφίδρομα από την πηγή προς το μέσο και αντίθετα. Γι’ αυτό, ακόμα και χωρίς αποσβέσεις το πλάτος στις κοιλίες δεν παίρνει μεγάλες τιμές. Πράγματι, είναι λογικό να μην είναι άτακτη η κίνηση, το μέσο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, αλλά πρόκειται για στάσιμο;
Τι θα συμβεί αν ακινητοποιήσουμε ξαφνικά και το άκρο της πηγής, αν κλείσουμε δηλαδή ενεργειακά το σύστημα; Τότε νομίζω θα εμφανιστεί μεταβατικά άτακτη κίνηση, μέχρι το σύστημα λόγω της εγκλωβισμένης ενέργειας να μεταπέσει σε κάποιον (ή κάποιους) από τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης και να έχουμε δημιουργία στασίμου.
Στην περίπτωση όμως που η πηγή διεγείρει σε κάποια από τις ιδιοσυχνότητες του μέσου, τότε έχουμε κατάσταση συντονισμού, ισχυρή σύζευξη και μονόδρομη μεταφορά ενέργειας. Γι’ αυτό και το πλάτος ιδανικά απειρίζεται, στην πράξη φτάνει σε μεγάλες τιμές και το σημείο σύνδεσης με την πηγή είναι σχεδόν πάνω σε δεσμό. Έχουμε πια ένα σχεδόν κλειστό σύστημα όπου η προσφερόμενη ενέργεια αντισταθμίζει απλά τις απώλειες. Η αποσύνδεση της πηγής δεν επηρεάζει τότε τον υπάρχοντα κυματισμό, απλά το στάσιμο φθίνει.
Έχω την εντύπωση ότι το στάσιμο είναι ακριβώς αυτή η τελευταία περίπτωση, που σχετίζεται με εγκλωβισμό της ενέργειας, κι όχι οποιαδήποτε κυματική εικόνα συμβολής, έστω κι αν θυμίζει στάσιμο. Είναι δηλαδή μια κατάσταση είτε ελεύθερης ταλάντωσης του μέσου, είτε συντονισμού του με την πηγή – διεγέρτη.
Και κακώς κατά την εκτίμησή μου μιλάει το σχολικό για στάσιμο με την πηγή να βρίσκεται πάνω σε κοιλία. Σε μια τέτοια περίπτωση η μεγάλη προσφορά ενέργειας θα οδηγούσε σε πολύ μεγαλύτερη αύξηση του πλάτους των κοιλιών του στασίμου.
Το ίδιο το σχολικό στην ενεργειακή προσέγγιση πιο κάτω μιλάει για εγκλωβισμό της ενέργειας «ανάμεσα στους δεσμούς».
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 19:20
Για όνομα του Θεού, πότε προλάβατε ;;
Δεν έκανα refresh όσο έγραφα και έμεινα … δέκα σχόλια πίσω !!
Δικαίωμα, να τα διαβάσω 🙂
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 19:28
Φυσικά Διονύση τα βιβλία κάνουν λάθη θεωρώντας την περίπτωση κοιλία στο άκρο ιδανική ενώ είναι περίπτωση αντισυντονισμού.
Γιατί να μην είναι στάσιμο;
Ας πούμε ότι οι εξισώσεις που έγραψα είναι λάθος διότι έχουν κινηματική προέλευση.
Το άρθρο όμως λύνει διαφορική εξίσωση με αυστηρό τρόπο και βγάζει τα ίδια. Η λύση δεν είναι στάσιμο κύμα;
Λέγοντας στάσιμο κύμα δεν εννοούμε συγκεκριμένη εξίσωση;
Δεν είναι μόνο ότι «μοιάζει» δηλαδή έχει δεσμούς και κοιλίες. Υπακούει στην εξίσωση του στάσιμου.
Που κάνει λάθος στην απόδειξη ο συγγραφέας.
Όμως το σοβαρότερο κατά τη γνώμη μου επιχείρημα είναι ότι αν μόνο ορισμένες συχνότητες έδιναν στάσιμο ούτε θα το βλέπαμε ούτε θα το γνωρίζαμε.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 20:18
Διονύση γράφεις ότι:
Νομίζω ότι σωστά το πράγμα είναι πολύπλοκο. Η κατάσταση μου θυμίζει την εξαναγκασμένη ταλάντωση με μηδενική απόσβεση. Δεν αποκαθίσταται ποτέ μόνιμη κατάσταση, αλλά συνεχώς ο συντονιστής παίρνει ενέργεια μεγαλώνοντας το πλάτος της ταλάντωσής του.
Νομίζω ότι στην περίπτωση μηδενικής απόσβεσης και τυχαίες αρχικές συνθήκες δεν δημιουργείται ποτέ στάσιμο κύμα.
Ας θυμηθούμε τι γίνεται στην εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση.
Η λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει δύο αρμονικούς όρους. Ο ένας περιέχει την ιδιοσυχνότητα του συστήματος και ο άλλος την συχνότητα του διεγέρτη.
Με τυχαίες αρχικές συνθήκες ο διεγέρτης δεν επιβάλει ποτέ την συχνότητά του στο σύστημα.
Αντιθέτως όταν υπάρχουν αποσβέσεις, ο όρος που περιέχει την ιδιοσυχνότητα έχει έναν εκθετικά μειούμενο συντελεστή και πρακτικά αργά ή γρήγορα μηδενίζεται.
Παρόμοια κατάσταση δημιουργείται και σε μια τεντωμένη χορδή μήκους L.
Οι ιδιοσυχνότητες της χορδής ( δηλαδή οι δυνατές συχνότητες ελεύθερης ταλάντωσης με μηδενική απόσβεση) εξαρτώνται από την κατάσταση των άκρων.
Ένα άκρο μπορεί να είναι σταθερό ή ελεύθερο.
Στο επόμενο σχήμα το αριστερό άκρο είναι σταθερό και το δεξί ελέυθερο.
Η συνθήκη που ισχύει για ένα σταθερό άκρο είναι y=0 και για ένα ελεύθερο dy/dx=0 ( μερική παράγωγος).
Όταν και τα δύο άκρα είναι σταθερά ή και τα δύο άκρα είναι ελεύθερα ισχύει ότι
L= n λ/2 . Επομένως fn=nυ/2L
Όταν το ένα άκρο είναι σταθερό και το άλλο ελεύθερο ισχύει ότι L=(2n+1)λ/4.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα γραμμικό μέσο μήκους L με το άκρο x=0 σταθερό. Στο άκρο x=L υπάρχει διεγέρτης που ταλαντώνεται με εξίσωση y=A0ημ(ωt).
Αναζητούμε λύση της κυματικής εξίσωσης, στην οποία όλα τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με συχνότητα ω ( την συχνότητα του διεγέρτη).
Δηλαδή y(x,t)=B(x)ημ(ωt)
Αντικαθιστώντας στην κυματική εξίσωση η ΔΕ εξίσωση που βρίσκουμε για την B(x) είναι: B΄΄(x)+k2B(x)=0, με γενική λύση B(x)=B1ημ(kx) + B2 συν(kx).
Επειδή Β(0)=0 προκύπτει ότι Β2=0.
Επειδή Β(L)=A0, προκύπτει ότι Β1ημ(kL)=A0.
Αν kL=nπ ó L=nλ/2 ó f= nυ/2L τότε το πλάτος απειρίζεται.
Η παραπάνω διαδικασία αντιστοιχεί στην εύρεση της μερικής λύσης της ΔΕ στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση.
Αν δεν ισχύει η συνθήκη f= nυ/2L τότε Β1=Α0 / ημ(kL).
Έχουν νόημα τα παραπάνω;
Υποθέσαμε ότι δεν υπάρχουν αποσβέσεις και ταυτόχρονα πετάξαμε τις ιδιοσυχνότητες.
Έχει κάποιο φυσικό περιεχόμενο η παραπάνω διαδικασία;
Νομίζω ναι. Είναι μια προσεγγιστική λύση της κατάστασης «μικρές αποσβέσεις».
Ο Γιάννης έχει δίκιο που βλέπει σε κάθε πείραμα να δημιουργείται στάσιμο κύμα.
Σε ένα πείραμα μετά από ένα μεταβατικό χρονικό διάστημα ο διεγέρτης επιβάλει την συχνότητά του στο σύστημα με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.
Το πλάτος ταλάντωσης του διεγέρτη είναι συνήθως μικρό. Αν ο διεγέρτης τοποθετηθεί σε απόσταση L=(2n+1)λ/4 τότε ημ(kL)=1 και συνεπώς Β1=Α0.
Δηλαδή οι κοιλίες του στασίμου ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με αυτό του διεγέρτη.
Το στάσιμο κύμα που σχηματίζεται δεν γίνεται ορατό.
Φροντίζουμε λοιπόν να βάλουμε τον διεγέρτη κοντά σε ένα δεσμό ώστε ημ(kL)1 και επομένως Β1>>Α0.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 5 Ιούνιος 2013 στις 20:27
Συμφωνώ Βαγγέλη. Στην προσομοίωσή σου πρέπει να επιλεγεί πεπερασμένο μέσο->Πεδίο ορισμού το (0,L) για να το δούμε. Όμως εσύ δεν έχεις βάλει αποσβέσεις και δεν έχει στάσιμο.
Η λύση της διαφορικής εξίσωσης σχετίζεται με τη μόνιμη κατάσταση οπότε εγκαθίσταται στάσιμο/
Σημαντική διαφορά από την εξαναγκασμένη ελατηρίου:
Σ’ αυτήν τα μεταβατικά φαινόμενα ξεπερνούν το δεκάλεπτο σε κάποια πειράματα.
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση χορδής δεν κρατούν ούτε δευτερόλεπτο.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 5 Ιούνιος 2013 στις 20:32
Τί να πω παιδιά, μήπως τελικά είναι θέμα ορισμού;
Λέγοντας στάσιμα εννοούμε οποιαδήποτε περίπτωση συμβολής, από την οποία προκύπτουν δεσμοί και κοιλίες, ή εννοούμε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης ενός ελαστικού μέσου;
Υλικό Φυσικής - Χημείας 
Παράθεμα: Στάσιμα κύματα | Υλικό Φυσικής - Χημείας
Τα στάσιμα (ή ταλάντωση στάσιμου κύματος) νομίζω ότι είναι πάντα συνδεδεμένα με τον συντονισμό.Πράγματι υπάρχουν βιβλία όπως ένα Κυπριακό με τη διάταξη που αναφέρεται στο ΕΚΦΕ Καλίπολης όπου αναφέρεται σε στάσιμα κύματα με τον τρόπο που λέει ο Γιάννης.
Διονύση νομίζω ότι στάσιμο κύμα έχουμε όταν ισχύει η εξίσωση:
y=C.συν(2πx/λ+φ1)ημ(ωt+φ2)
Αν θέλεις αντί για y την πίεση αερίου, εντάξει.
Οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης σχετίζονται με την ελεύθερη ταλάντωση. Για παράδειγμα χορδή άρπας. Τεράστιο το ενδιαφέρον φυσικά αλλά τα στάσιμα που παρουσιάζουμε είτε live είτε μέσω βίντεο είναι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.
Το μπέρδεμα έρχεται διότι για να έχουμε μεγάλες κοιλίες βάζουμε στον διεγέρτη τις ιδιοσυχνότητες τη μία μετά την άλλη. Εύκολα θεωρεί κάποιος ότι μόνο αυτές δίνουν στάσιμα.
Η περίπτωση συμβολής δύο κυμάτων , π.χ. ο Πατούχας και ο Θοδωρής, φυσικά δεν είναι στάσιμο. Το πολύ -πολύ να ακούσεις τη φωνή του Πατούχα με διπλάσια ένταση.
Σαράντο γράφαμε μαζί.
Είναι συνδεδεμένα με τον συντονισμό διότι αν φτιάξεις στάσιμο με γελοίο πλάτος θα ακούσεις:
-Τι είναι αυτή η αηδία κύριε;
Ρίχνεις λοιπόν ιδιοσυχνότητα και να κάτι κοιλίες.
Οι μπασκετμπωλίστες είναι συνήθως ψηλοί αλλά όχι όλοι.
Διονύση Μητρόπουλε νομίζω πρέπει στο στάσιμο κύμα να συμπεριλάβουμε και τα δύο.
Κατ’ αρχάς δεν συμφωνώ με την φράση ότι το στάσιμο κύμα είναι μια κατάσταση συντονισμού.
Το κλασσικό μοντέλο στασίμου είναι σε μια χορδή με σταθερά άκρα.
Μιλάμε δηλαδή για ελεύθερη ταλάντωση.
1) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια χορδή με σταθερά και τα δύο άκρα.
Απομακρύνουμε τα σημεία της χορδής σε τυχίαες θέσεις και την αφήνουμε ελέυθερη να κινηθεί.
Προφανώς δεν θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Ούτε θα εγκλωβιστεί ενέργεια σε κάποιο τμήμα της χορδής.
Αν απομακρύνουμε τα σημεία της χορδής κατά μήκος της καμπύλης y=Aημ(kx) με kL=nπ και την αφήνουμε ελεύθερη τότε θα δημιουργηθεί κανονικά στάσιμο κύμα.
2) Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε μια χορδή με το άκρο x=0 ελεύθερο και το άκρο x=L σταθερό.
Για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα θα πρέπει να απομακρύνουμε τα σημεία της κατά μήκος της καμπύλης y=Aσυν(kx) με kL=(2n+1)π/2.
3) Στην θέση x=0 βάζουμε τώρα ένα διεγέτη γωνιακής συχνότητας ω.
Τι πρέπει να ισχύει ώστε να θεωρήσουμε ότι έχουμε συντονισμό;
Lω/υ =nπ ή Lω/υ =(2n+1)π/2;
Γιατί να θεωρήσουμε ότι η παρουσία διεγέρτη αντιστοιχεί σε ελεύθερο ή σταθερό ακρο;
4) Θεωρούμε τώρα ότι το άκρο x=0 είναι σταθερό και στο x=L υπάρχει διεγέρτης.
Απομακρύνουμε τα σημεία της χορδής κατά μήκος της καμπύλης y=Aημ(kx), k αυθαίρετο και την στιγμή t=0 που την αφήνουμε ελεύθερη αρχίζουμε να ταλαντώνουμε το άκρο x=L με εξίσωση
y=Aημ(kL)συν(kυt).
Η συνάρτηση y(x,t)=Aημ(kx)συν(ωt) ικανοποιεί την κυματική εξίσωση και τις συνοριακές συνθήκες y(0,t)=0 , y(L,t)=Aημ(kL)συν(kυt).
Επομένως στη χορδή θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.
Εν κατακλέιδι: είτε είναι ελεύθερη είτε εξαναγκασμένη η κίνση της χορδής , η δημιουργία ή όχι στάσιμου κύματος εξαρτάται σημαντικά από τις αρχικές συνθήκες.
Αυτά φυσικά χωρίς αποσβέσεις.
Διονύση (Μητρ) τα συγχαρητήρια μου για την επεργασία μιας αρκετά λεπτής φυσικής έννοιας όπως είναι το στάσιμο κύμα. Πιστεύω μαζί με την συζήτηση που εξελίσεται να μας δώσει νέες γνώσεις …και νέες ιδέες.
Να’σαι καλά Διονύση αλλά και όλοι εσείς αγαπητοί συνάδελφοι που συσκέφτεστε …και μας βοηθάτε
»…Να φωτίζουμε τις αιτίες που μας αφήνουνε μισούς…»
Κατ΄αρχήν ένα μεγάλο ευχαριστώ στον Μητρόπουλο για το εξαιρετικό κείμενο.
Όσον αφορά τα επίμαχα θέματα.
1.Νομίζω ότι έχουμε καταλήξει από προηγούμενες συζητήσεις ( και με την βοήθεια των μαθηματικών περιγραφών του Κορφιάτη ) ότι στον μακρόκοσμο συντονισμός ( και στάσιμο ) χωρίς απόσβεση δεν υφίσταται. Για τον μικρόκοσμο κρατάω τις επιφυλάξεις μου αφού πολλά συγγράμματα τονίζουν ότι εκεί το πράγμα διαφέρει )
2. Νομίζω πως το βασικό δεν είναι το πεπερασμένο ή άπειρο…Ένα πεπερασμένο και δέσμιο μέσο έχει πολύ λιγότερους τρόπους συντονισμού…Το συνεχές μέσο οριοθετημένο ( π.χ. μια χορδή κιθάρας ) έχει άπειρους τρόπους συντονισμού ( όσοι τρόποι χωρισμού του σε τμήματα μπορούμε να φανταστούμε ) όμως η θεμελιώδης (για ορισμένη συχνότητα) διέγερσης κυριαρχεί ( μεγάλα πλάτη )και επικαλύπτει όλες όσες θα αποτελούσαν θεμελιώδεις για πολλαπλάσιες συχνότητες .
Έτσι π.χ. ο ήχος της Μι ( ιδιοσυχνότητα 512Ηz ) χορδής μπορεί να συντονιστεί και με ήχο συχνότητας 512 Hz και με 1024 και με 2048…κ.ο.κ. το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης θα δώσει σε συντονισμό με ήχο 512 Hz ( μια άτρακτος ). Ανάλυση σε παλμογράφο θα δείξει ότι υπάρχουν και διακυμάνσεις πολύ μικρότερου πλάτους με πολλαπλάσιες συχνότητες ( γιατί 😉
Αντίστοιχα φαινόμενα παρατηρούνται και στον μικρόκοσμο.
Τι γίνεται σε άπειρο συνεχές … Ποιο είναι τέτοιο μέσο; Ένας ανοιχτός ηχητικός σωλήνας ή ένα αντηχείο… μα όλα αυτά μοιάζουν με το παλιό αρχείο του Μάργαρη …κάπου αρχίζει μια διαφορετική ταχύτητα ενός άλλου μέσου και άρα ανάκλαση μερική …νάτο πάλι το στάσιμο. Αλλά γιατί το αντηχείο ενισχύει μια μεγάλη περιοχή συχνοτήτων ; Ποια τελικά είναι η ιδιοσυχνότητα του αντηχείου;….μήπως είναι υποπολλαπλάσιο των συχνοτήτων που θέλουμε να ενισχύσουμε ( κοινός διαιρέτης ; ίσως, άλλωστε η κβάντωση των φυσικών μεγεθών αυτό το προβλέπει)
Αντίστοιχα φαινόμενα παρουσιάζονται και στον μικρόκοσμο….Κατανομές που υποδηλώνουν τον συντονισμό σε θεμελιώδη και δευτερεύουσες συχνότητες….Κυριαρχία και πάλι της θεμελιώδους ( λόγω υπέρθεσης ; )
3. Ας γυρίσουμε στη βασική μου απορία υπάρχει στάσιμο στην ΜΙ χορδή ( ιδιοσυχνότητα 512 Ηz ) μέ ηχητική διέγερση συχνότητας 513 Ηz ; Ο Κυριακόπουλος απαντά ναι αλλά με πολύ μικρότερο πλάτος …
να υπόθέσω ότι μετατοπίζεται η θέση της κοιλίας αναφοράς όπως γίνεται στην περίπτωση που έχω στο άκρο ένα χέρι …
Να υποθέσω ότι αλλάζει η τάση της χορδής και η ταχύτητα
Ναι αλλά στην χορδή της κιθάρας με τα δύο άκρα ακλόνητα ; τι να υποθέσω; ότι θα σχηματιστούν τόσοι πολλοί άτρακτοι Ν το πλήθος όσοι απαιτούνται ώστε τα μήκη τους να ικανοποιούν τη σχέση L=Νλ΄/2 ( όπου λ΄=υ/f΄ με f΄ = (512×513) μάλλον ούτε θα δω ατράκτους ούτε θα ακούω….ένας συντονισμός που αναφέρεται στο 1/513 του μήκους της χορδής μου…. ούτε θα βλέπω ατράκτους στάσιμων ούτε θα ακούω τίποτα διότι αυτός δεν είναι πια «συντονισμός της χορδής» ; ( κι όμως στο πολλαπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του αντηχείου τ’ ακούω..; ίσως εδώ είναι άλλο φαινόμενο λόγω αλλων τρόπων συντονισμού μιας επιφάνειας …δεσμικές γραμμές κλπ. )
Ίσως δεν χρειάζονται όλα αυτά στην διδακτική μας αλλά πολύ θα ήθελα να πατάω πιο σίγουρα στα πόδια μου
Νομίζω πως κάποιος πρέπει να βάλει τάξη….εγώ δεν…
Μήτσο κάτι σχετικό με την τελευταία παράγραφό σου.
Οι «μεγάλες» αρμονικές έχουν μικρά πλάτη.
Γιάννη διάβασα το άρθρο που μου συνέστησες και σ’ ευχαριστώ.
Στα πειράματα που έχω κάνει ο ίδιος διατηρώντας σταθερό το βάρος που τεντώνει το νήμα και αλλάζοντας σιγά – σιγά τη συχνότητα του διεγέρτη, φαίνεται ότι για κάποιες τιμές χαλάει η εικόνα του στάσιμου – σχεδόν δεσμοί , κοιλίες- και παρουσιάζεται μια ενδιάμεση κατάσταση που μοιάζει ή δεν μοιάζει με στάσιμο, μέχρι να επιτευχθεί μια νέα τιμή και προκύψει πάλι η γνωστή μορφή.
Παρατηρείται επίσης ότι χωρίς να αλλάζει το πλήθος των ατράκτων, το πλάτος των ταλαντώσεων μεταβάλλεται με τη συχνότητα και για κάποια τιμή της γίνεται μέγιστο – συντονισμός.
Τότε έχουμε και την τέλεια μορφή του στάσιμου, οι δεσμοί διακρίνονται πεντακάθαρα (αν και στην πραγματικότητα δεν είναι ακριβώς δεσμοί).
Μήπως αυτή την κατάσταση συντονισμού πρέπει να δεχτούμε ως στάσιμο κύμα;
Εμένα μέχρι τώρα με κάλυπτε το παρακάτω:
Standing waves don’t form under just any circumstances. They require that energy be fed into a system at an appropriate frequency. That is, when the driving frequency applied to a system equals its natural frequency. This condition is known as resonance. Standing waves are always associated with resonance. Resonance can be identified by a dramatic increase in amplitude of the resultant vibrations.
Θα ήθελα να συνεχίσει να με καλύπτει αν και προβληματίζομαι με αυτά που λέει ο Γιάννης τα οποία μου φαίνονται λογικά.Σκέφτομαι ότι αν το παρακάμψουμε τότε μήπως θα μπορούσαμε να δούμε σαν στάσιμο κύμα και αυτό με τις δύο πηγές ας πούμε όπως πρότεινε και η ΕΕΦ;
Μια μικρή συμπλήρωση:
Αν παρατηρήσουμε το video του ΕΚΦΕ Καλίπολης παρουσιάζεται έν ενδιαφέρον μεταβατικό φαινόμενο στην αλλαγή της συχνότητας. Υπάρχει ένα χρονικό διάστημα κάποιων δευτερολέπτων που η χορδή μπερδεύεται. Δεν ξέρει τι να κάνει. Τελικά βέβαια προσαρμόζεται στον διεγέρτη.
Τροποποίησα λίγο την εφαρμογή ώστε να περιλαμβάνει και περιπτώσεις που ο διεγέρτης να αντιστοιχεί σε κοιλία. Στην αναδιπλούμενη λίστα «μήκος κύματος» έχουν προστεθεί οι επιλογές λ=4L/3, λ=4L/5, λ=4L/7.
Είναι ενδιαφέρουσα η λύση της κυματικής εξίσωσης στην εξής περίπτωση.
Το ένα άκρο της χορδής σταθερό, το μέσο αρχικά ακίνητο στην θέση y=0 και ο διεγέρτης αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aημ(ωt). Αν το ω είναι τέτοιο ώστε L=3λ/4 τότε σε χρόνο Δt=4L/υ το μέσο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση. Το κύμα δρα σαν οδοστρωτήρας.
Θα επιμείνω σε μια παλιά άποψή μου.
Για να βάλουμε τα πράγματα σε τάξη θα πρέπει να δούμε «ιδίοις όμασι» την επίλυση της κυματικής εξίσωσης.
Στο zip αρχείο υπάρχει η βελτιωμένη εφαρμογή και η επίλυση της κυματικής εξίσωσης σε μια διάσταση με διάφορες συνοριακές συνθήκες. Η εφαρμογή δουλεύει με αυτές τις λύσεις.
Η αλήθεια είναι ότι το κείμενο είναι 43 σελίδες. Τα μαθηματικά που χρησιμοποιεί είναι επιπέδου Λυκείου ( το ολοκλήρωμα μέσα).
Μανώλη , Σαράντο αν στάσιμο ονομάζεται μόνο η κατάσταση συντονισμού του γραμμικού μέσου δεν το γνωρίζω. Σε αυτή την περίπτωση οτιδήποτε είναι στάσιμο κατά προσέγγιση.
Σαράντο επειδή έχω μπερδευτεί πλήρως θα ξαναθέσω το ερώτημα.
Θεωρούμε μια χορδή που το ένα άκρο είναι στερεωμένο και στο άλλο υπάρχει διεγέρτης.
Σε ποιές συχνότητες συντονίζεται η χορδή και γιατί;
Ποιές είναι οι «natural frequencies»;
Βαγγέλη εγώ αντιλαμβάνομαι ότι εννοεί τις f=κ.(υ/2L) .
Αυτές δηλαδή που «ακούς» όταν όταν ο μουσικός χτυπά τη χορδή αυτήν αφού αφαιρέσει τον διεγέρτη και στερεώσει και τα δύο της άκρα.
Ισοδύναμα τις συχνότητες του διεγέρτη που προαναφέρεις για τις οποίες το πλάτος μεγιστοποιείται.
Μάλλον όμως άλλο ρωτάς.
Γιατί να στερεώσει και τα δύο άκρα; Ας αφήσει το ένα ελεύθερο να ταλαντώνεται στην άκρη ενός κρίκου περασμένου σε ένα δοκάρι κάθετο στην διεύθυνση της χορδής.
Αν θέλεις μπορεί το δοκάρι να σχηματίζει γωνία 30, 40 50 μοίρες με την χορδή.
Οι συχνότητες όλων αυτών των διατάξεων είναι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης.
Βαγγέλη σου λέω τι κατάλαβα ότι είναι οι κανονικοί τρόποι.
Στο άρθρο που παρέθεσα αναφέρονται δυο ομάδες. Οι συχνότητες συντονισμού και οι συχνότητες αντισυντονισμού.
Οι πρώτες μηδενίζουν τον παρονομαστή του πλάτους ενώ οι δεύτερες του δίνουν την τιμή +1 ή -1.
Σελίδα 4.
Ευάγγελε κάπως έτσι δηλαδή; Το ότι στο ένα άκρο υπάρχει διεγέρτης δε μου λέει κάτι Ευάγγελε. Αν μου έλεγες ότι στο ένα άκρο υπάρχει κοιλία θα απαντούσα.
Στο βίντεο που έστειλε ο Σαράντος φαίνεται η μεταβολή του πλάτους των κοιλιών με τη συχνότητα.
Ο πειραματιστής οδηγεί τη χορδή από κατάσταση αντισυντονισμού σε κατάσταση συντονισμού.
Γιάννη είναι προφανές γιατί μας ενδιαφέρουν οι συχνότητες που μηδενίζουν το ημ(kL) και οι συχνότητες που μηδενίζουν το συν(kL).
Οι πρώτες απειρίζουν το πλάτος όταν το ένα άκρο είναι σταθερό και οι δεύτερες όταν το ένα άκρο είναι ελέυθερο.
ϊσως έτσι να έχει νόημα κάποιος αυτοσυνεπής ορισμός.
Σε αντιστοιχία με την εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση.
Η συχνότητα συντονισμού είναι η συχνότητα που απειρίζει το πλάτος της ταλάντωσης.
Στην περίπτωση της χορδής ορίζουμε ως συχνότητες συντονισμού τις συχνότητες εκείνες που απειρίζουν το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών.
Το ποιές είναι αυτές εξαρτάται από την κατάσταση του άκρου στο οποίο δεν βρίκσεται ο διεγέρτης.
Σαράντο αναφέρεις δύο φορές την φράση «στο ένα άκρο». Όμως έχω την εντύπωση ότι δεν αναφέρεσαι και τις δύο φορές στο ίδιο σημείο.
Ξαναδιατύπωσε την ερώτηση χρησιμοποιώντας τις φράσειςς » το άκρο που υπάρχει ο διεγέτης» και «το άκρο που δεν υπάρχει διεγέρτης».
Στο πείραμα Ευάγγελε φαίνεται ότι στην περίπτωση που στο ένα άκρο υπάρχει διεγέρτης η χορδή (της οποίας το άλλο άκρο είναι ακίνητο, συνεπώς δεσμός) συντονίζεται (μεγιστοποίηση του πλάτους στις κοιλίες) για τις συχνότητες που αντιστοιχούν σε δεσμό στο άκρο που είναι ο διεγέρτης δηλαδή f=κ.(υ/2L).
Προφανώς ο διεγέρτης είναι πολύ κοντά σε δεσμό τότε.
Συνάδελφοι και φίλοι καλημέρα. Λόγω υποχρεώσεων δεν μπόρεσα χθες βράδυ να παρακολουθήσω τη συζήτηση και μπαίνοντας πριν λίγο, βλέπω να έχουν γεμίσει σελίδες! Τι να σχολιάσω και τι να πω;
Θεώρησα εξαρχής πολύ καλή την πρωτοβουλία και την μελέτη του Διονύση, για ένα βασικό λόγο. Ο λόγος ήταν επειδή με βρίσκει σύμφωνο η λογική του, ότι το στάσιμο κύμα είναι η ταλάντωση μιας μη σημειακής μάζας. Αν θέλετε να πείτε μια γραμμικής ή μιας επιφανειακής κατανομής μάζας, πείτε το. Πάντως μιας ταλάντωσης, που δεν πρέπει να συγχέεται με το φαινόμενο της συμβολής. Για μένα αυτό ήταν το σημαντικό.
Και πάνω στη συζήτηση αυτή, αν ήθελα κάτι να κρατήσω θα ήταν τα λόγια του Γιάννη:
«Όμως κατά τη γνώμη μου να μια διαφορά μεγάλη.
Πάρε δυο διαπασών χωρίς αντηχείο και βάλε τα σε κάποια απόσταση, κάτσε ανάμεσα και πες σε δύο μαθητές να τα χτυπήσουν. Τι θα ακούσεις; Δύο ελαφρότατοι ήχοι συμβάλουν και δίνουν έναν που σε κάποια σημεία έχει διπλάσια ένταση. Στο τελευταίο θρανίο θα ακουστεί κάτι;
Πάρε μετά ένα διαπασών με αντηχείο. Στάσιμο φυσικά και σφυρίζει όλη η αίθουσα.
Ο Βαγγέλης Κουντούρης το έκανε με νερό και σφύριζε η αίθουσα του ΕΚΦΕ.»
Αν κρατήσουμε αυτό, όλα τα άλλα είναι λεπτομέρειες που αφορούν είτε μαθηματικά μοντέλα και εξισώσεις, είτε θέματα ορισμού. Ας το κρατήσουμε λοιπόν αυτό σαν κυρίαρχο. Είναι ένα νέο φαινόμενο, κάτι ιδιαίτερο και όχι μια απλή εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας.
Ας έρθουμε τώρα στα υπόλοιπα.
Εδώ θα πρέπει να θυμηθούμε τις συζητήσεις που έχουμε κάνει κατά καιρούς για την αρμονική ταλάντωση και την ΑΑΤ. Αν ένα υλικό σημείο εκτελεί είτε ΑΑΤ με εξίσωση x=Aημωt είτε εξαναγκασμένη με εξίσωση x=Aημωt, δεν πρόκειται να παρατηρήσουμε καμιά διαφορά βλέποντάς την.
Αν αντίστοιχα έχουμε μια χορδή με σταθερά άκρα, η οποία εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση με μια από τις ιδιοσυχνότητές της, είτε εκτελεί εξαναγκασμένη με κάποιον διεγέρτη στο ένα της άκρο και το άλλο της άκρο σταθερό, αλλά με συχνότητα διεγέρτη, ίδια με κάποια από τις ιδιοσυχνότητές της, τι διαφορά πρόκειται να δούμε, στο σχήμα της χορδής; Καμία. Μπορούμε να μιλάμε και στη μια περίπτωση και στην άλλη για στάσιμο κύμα; Νομίζω ότι είναι θέμα ορισμού και τίποτα περισσότερο.
Προσωπικά θα προτιμούσα να λέγαμε τη δεύτερη περίπτωση στάσιμο, ενώ στην πρώτη περίπτωση να μιλάγαμε απλά για ελεύθερη ταλάντωση του μέσου. Θα συμφωνούσα δηλαδή με την πρόταση του Σαράντου:
«νομίζω ότι είναι πάντα συνδεδεμένα με τον συντονισμό»
Αλλά προφανώς η δική μου προτίμηση δεν έχει καμιά ιδιαίτερη αξία.
Συνάδελφοι καλησπέρα,
Να ευχαριστήσω κατ’ αρχήν και τους αγαπητούς φίλους Γιάννη (Δογρ.), Δημήτρη, Μανώλη,
που εμπλουτίζουν τη συζήτηση με τα σχόλια και τις θέσεις τους 🙂
Νικόλαε πράγματι κι εγώ πιστεύω ότι τα στάσιμα είναι ένα θέμα που έχει «σκοτεινές περιοχές».
Νομίζω ότι υπάρχουν στη βιβλιογραφία μετέωρες και οι δύο τάσεις:
Η μια θεωρεί στάσιμα οποιαδήποτε κυματική κατάσταση με δεσμούς και κοιλίες,
και η άλλη θεωρεί στάσιμα τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης ενός μέσου, είτε πρόκειται για ελεύθερη ταλάντωση είτε για κατάσταση συντονισμού.
Προσωπικά κλίνω υπέρ της 2ης θέσης, αλλά πιστεύω ότι η συζήτηση θα μας βοηθήσει να καταλήξουμε σε ασφαλέστερα συμπεράσματα.
Βαγγέλη προσπάθησα να εξηγήσω αυτό που έγραψες πιο πριν,
«Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια χορδή με σταθερά και τα δύο άκρα. Απομακρύνουμε τα σημεία της χορδής σε τυχαίες θέσεις και την αφήνουμε ελέυθερη να κινηθεί. Προφανώς δεν θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Ούτε θα εγκλωβιστεί ενέργεια σε κάποιο τμήμα της χορδής.»
Έχω την εντύπωση ότι συμβαίνει το εξής. Με την τυχαία διέγερση η χορδή ταλαντώνεται όχι μόνο σε έναν αλλά σε πολλούς από τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσής της. Δημιουργούνται έτσι στάσιμα όχι μόνο της θεμελιώδους συχνότητας αλλά και ανωτέρων αρμονικών, και έτσι η υπέρθεση όλων δίνει μια εικόνα ταλάντωσης που μοιάζει τυχαία.
Έχει ενδιαφέρον να παρατηρήσετε σ’ αυτό το βίντεο (ΕΔΩ) το τέχνασμα που χρησιμοποιεί ο κιθαρίστας για να κόψει τις ανώτερες αρμονικές και να αφήσει τη χορδή να ταλαντώνεται στη θεμελιώδη (περίπου στο 1:00).
Καλησπέρα συνάδελφοι
Νομίζω ότι θα αδικήσουμε το στάσιμο κύμα αν το περιορίσουμε μόνο στην περίπτωση που έχουμε διεγέρτη σε συντονισμό με το ελαστικό μέσο.
Δύο επιχειρήματα για το παραπάνω:
Αν δεν κάνω λάθος σε όλα τα βιβλία αναφέρεται ως παράδειγμα στασίμου κύματος η περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης μιας χορδής με σταθερά άκρα.
Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι η πρώτη συνθήκη του Bohr μπορεί να προκύψει θεωρώντας ότι το κύμα που αντιστοιχεί στο ηλεκτρόνιο κατά de Broglie κατά μήκος της τροχιάς του ηλεκτρονίου είναι στάσιμο.
Θεωρώ ότι το κυριότερο χαρακτηριστικό του στάσιμου κύματος είναι ο εγκλωβισμός ενέργειας. Στην περίπτωση κυμάτων που διαδίδονται σε μονοδιάστατο μέσο ο εγκλωβισμός αυτός μπορεί να γίνει μεταξύ δύο σημείων, σε κύματα επιφάνειας μεταξύ δύο γραμμών και σε κύματα χώρου μεταξύ δύο επιφανειών.
Στο ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των δύο πηγών του θέματος Β2 δεν υφίσταται τέτοιος εγκλωβισμός με αποτέλεσμα να μην δημιουργείται στάσιμο κύμα.
Νομίζω ότι προκειμένου να ξακαθαρίσουμε τα πράγματα θα πρέπει να αποφασίσουμε αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε ή όχι ένα μοντέλο.
Ελαστικές παραμορφώσεις χωρίς αποσβέσεις , ελαστικές παραμορφώσεις με αποσβέσεις ή μη ελαστικές παραμορφώσεις;
Νομίζω ότι για αρχή πρέπει να περιοριστούμε σε ελαστικές παραμορφώσεις χωρίς αποσβέσεις.΄
Εφιστώ την προσοχή ότι στο σημείο αυτό ο πιο κακός σύμβουλος είναι το πείραμα.
Η άποψη αυτή φαντάζει αιρετική για ένα Φυσικό αλλά έτσι είναι.
Η παρουσία αποσβέσεων οδηγεί σε μια κατάσταση που είναι σχεδόν στάσιμο.
Παράδειγμα 1
Θεωρούμε λοιπόν μια χορδή με στερεωμένα τα δύο άκρα.
Απομακρύνουμε τα σημεία της χορδής κατά μήκος της καμπύλης y=Aημ(kx) με
k=nπ/ L και την στιγμή t=0 αφήνουμε την χορδή ελεύθερη να κινηθεί.
Η εξίσωση κίνησης των σημείων της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση
y=Aημ(kx)συν(ωt) με ω=kυ.
Στην περίπτωση αυτή δημιουργείται κανονικά στάσιμο κύμα.
Παράδειγμα 2
Σταθεροποιούμε τώρα το άκρο x=0, απομακρύνουμε τα σημεία της κατά μήκος της καμπύλης y=Aημ(kx) με k αυθαίρετο και την στιγμή t=0 αφήνουμε την χορδή ελεύθερη να κινηθεί βάζοντας σε ταλάντωση το άκρο της x=L με εξίσωση
ys(t)=Aημ(kL)συν(ωt) όπου ω=kυ.
Ποια θα είναι η εξίσωση κίνησης των σημείων της χορδής;
Λύση
Θεωρούμε την συνάρτηση y(x,t)=Aημ(kx)συν(ωt)
Επειδή ω=kυ η συνάρτηση αυτή είναι λύση της κυματικής εξίσωσης.
Ισχύει ότι y(0,t)=0 , y(L,t)=ys(t), y(x,0)=Aημ(kx) και dy/dt (x,0)=0.
Επομένως η y ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες.
Αρα η εξίσωση κίνησης των σημείων της χορδής δίνεται από την σχέση
y(x,t)=Aημ(kx)συν(ωt)
Υπάρχει αμφιβολία ότι η σχέση αυτή περιγράφει στάσιμο κύμα ή όχι;
Παράδειγμα 3
Θεωρούμε τώρα ότι το άκρο x=0 είναι σταθερό, όλα τα σημεία της χορδής στην θέση ισορροπίας και την στιγμή t=0 η άκρη x=L αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση ys(t)=Aημ(ωt) με ω=2πυ/L ( 2η αρμονική) .
Υπάρχει περίπτωση στο μέσο της χορδής να δημιουργηθεί δεσμός;
Θα δημιουργηθεί ποτέ στάσιμο κύμα;
Βαγγέλη καλησπέρα,
Συμφωνώ με την πιο πάνω τοποθέτησή σου.
Σε μεγάλο μέρος της βιβλιογραφίας τα στάσιμα κύματα χρησιμοποιούνται ως συνώνυμο των κανονικών τρόπων ταλάντωσης ενός ελαστικού μέσου, μιας, δύο ή τριών διαστάσεων.
Ιδανικά, οι φυσικές ιδιοσυχνότητες που αντιστοιχούν στους κανονικούς τρόπους καθορίζονται από τη φύση και τις οριακές συνθήκες του μέσου και είναι και οι συχνότητες των στασίμων που μπορούν να δημιουργηθούν σ’ αυτό.
Η ύπαρξη απόσβεσης επιδρά στις ιδιοσυχνότητες αυτές, με ανάλογο τρόπο που επιδρά και στην ιδιοσυχνότητα ενός αρμονικού ταλαντωτή.
Ένα μέσο μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα με κάποιον από τους κανονικούς τρόπους του και η ταλάντωση αυτή μπορεί να είναι ιδανικά αμείωτη ή, στην πράξη, φθίνουσα, σχετίζεται όμως πάντα με τον εγκλωβισμό της μηχανικής ενέργειας εντός των ορίων του μέσου, που μπορεί να παραμένει ιδανικά σταθερή ή να υποβαθμίζεται εξ αιτίας των αποσβέσεων.
(Είναι αυτονόητο ότι σε περίπτωση πολύ μεγάλης απόσβεσης η εικόνα του στασίμου εκφυλίζεται όπως συμβαίνει και στον αρμονικό ταλαντωτή, όπου η κίνησή του εκφυλίζεται σε απεριοδική.)
Σε περίπτωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης τώρα, κατά το συντονισμό:
Ιδανικά, το μέσο ταλαντώνεται με κάποια από τις φυσικές του ιδιοσυχνότητες και μάλιστα με ολοένα αυξανόμενο πλάτος μέχρι καταστροφής, εκτός αν διακόψουμε την παροχή ενέργειας οπότε η εξαναγκασμένη ταλάντωσή του εκφυλίζεται σε ελεύθερη.
Στην πράξη, ταλαντώνεται με συχνότητα παραπλήσια σε κάποια από τις φυσικές του ιδιοσυχνότητες και με σχετικά μεγάλο πλάτος, η δε προσφερόμενη ενέργεια αντισταθμίζει τις απώλειες λόγω απόσβεσης.
Αν τέλος οι αποσβέσεις είναι μεγάλες τότε πρακτικά δεν παρατηρείται φαινόμενο συντονισμού.
Για να γίνουν αντιληπτές στα παιδιά οι πιο πάνω καταστάσεις χρησιμοποιώ το εξής μηχανικό ανάλογο (δεν ξέρω κατά πόσο επιτυχές):
Τα εικονιζόμενα δοχεία μπορούν να γεμίζουν με νερό από την επάνω βρύση και να αδειάζουν από την κάτω.
Η (θετική) παροχή νερού της επάνω βρύσης είναι σε αναλογία με το ρυθμό προσφοράς ενέργειας από μια πηγή – διεγέρτη σε ένα ταλαντούμενο σύστημα κατά το συντονισμό.
Η αρνητική παροχή της κάτω βρύσης είναι σε αναλογία με το ρυθμό που αφαιρείται ενέργεια από το σύστημα λόγω των δυνάμεων απόσβεσης. (Μεγάλη βρύση σημαίνει μεγάλη σταθερά απόσβεσης). Στο πρώτο δοχείο δεν υπάρχει τέτοια βρύση, σε αναλογία με ένα ιδανικό σύστημα χωρίς αποσβέσεις.
Η ποσότητα νερού που παραμένει στο δοχείο είναι σε αναλογία με την ενέργεια που εγκλωβίζεται στο μηχανικό σύστημα κατά την ταλάντωσή του, και το ύψος Η της στάθμης του νερού σε αναλογία με το πλάτος Α της ταλάντωσης του συστήματος.
Στο 1ο δοχείο το νερό κάποια στιγμή θα ξεχειλίσει, το ανάλογο του απειρισμού του πλάτους στο μηχανικό σύστημα.
Στο 2ο δοχείο, το ύψος της στάθμης του νερού θα φτάσει σε κάποια τιμή για την οποία η κάτω βρύση αφαιρεί νερό με τον ίδιο ρυθμό που προσφέρει η επάνω, και θα παραμείνει στη συνέχεια σταθερό.
Η τιμή αυτή εξαρτάται από το μέγεθος της κάτω βρύσης. Αν αυτή είναι μικρή, τότε το ύψος της στάθμης θα σταθεροποιηθεί σε μεγάλη τιμή και η ποσότητα νερού που παραμένει στο δοχείο θα είναι μεγάλη.
Αν όμως είναι μεγάλη, όπως στο 3ο δοχείο τότε το η ποσότητα νερού που παραμένει στο δοχείο είναι μικρή.
Πιστεύω λοιπόν όπως έγραψα και πιο πάνω, ότι όταν μιλάμε για στάσιμα κύματα, εννοούμε,
Α) την ελεύθερη ταλάντωση ενός ελαστικού μέσου με κάποιον από τους κανονικούς του τρόπους, με καθόλου ή με μικρή απόσβεση.
Β) την εξαναγκασμένη ταλάντωση του μέσου με κάποιον από τους κανονικούς του τρόπους (ή έστω σχεδόν κανονικούς, λόγω της επίδρασης των δυνάμεων απόσβεσης), που προκαλείται όταν η απόσβεση είναι σχετικά μικρή, το μέσο συντονίζεται με την πηγή – διεγέρτη, και ο συντονισμός είναι έντονα αισθητός.
Η ίδια θέση εκφράστηκε και από τις τοποθετήσεις συναδέλφων πιο πάνω, όπως π.χ. στα σχόλια του Διονύση και του Σαράντου.
Νομίζω συμφωνούμε κατ’ αρχήν όλοι ότι οι περιπτώσεις (Α) και (Β) πιο πάνω μπορούν να χαρακτηριστούν στάσιμα.
Μένει ακόμα να δούμε αν μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ως στάσιμα κυματικές καταστάσεις όπως:
Γ) Εξαναγκασμένη ταλάντωση συστήματος με συχνότητα διέγερσης μακριά από τις φυσικές του ιδιοσυχνότητες, και
Δ) Περιπτώσεις συμβολής σε ανοικτά μέσα, όπου σε κάποιες περιοχές τους παρατηρούνται σημεία ή περιοχές μεγιστοποίησης / ελαχιστοποίησης του πλάτους.
Καλησπέρα Διονύση
Μια ερώτηση που αφορά το Γ:
Τι σε κάνει να αμφιβάλλεις αν το παράδειγμα 2 παραπάνω περιγράφει στάσιμο κύμα;
Με πρόλαβες Βαγγέλη, ετοιμαζόμουν να γράψω ένα σχόλιο σχετικά μ’ αυτό, που νομίζω σχετίζεται και με την επισήμανση του Γιάννη ότι (περίπου),
«μπορώ πάντα να δημιουργήσω ένα στάσιμο οποιασδήποτε συχνότητας με δεσμούς και κοιλίες σε τεντωμένο σκοινί με πηγή – διεγέρτη στο ένα άκρο του. Το πλάτος του όμως θα είναι συγκρίσιμο με το πλάτος ταλάντωσης της πηγής και δεν θα είναι πειστικό …»
Με προβληματίζει αυτό, διότι απ’ τη μια δέχομαι αυτό που λέει ο Γιάννης, αλλά κι απ’ την άλλη έχουμε δει απόπειρες διέγερσης μέσου σε συχνότητες διαφορετικές από τις ιδιοσυχνότητές του, όπου το μέσο κάνει άστατη κίνηση χωρίς να εγκαθίσταται στάσιμο.
Δύο πιθανές ερμηνείες μπορώ να σκεφτώ που τις βάζω στην κρίση σας:
Η πρώτη, που την είχα αναφέρει και πιο πάνω είναι ότι το σύστημα στην περίπτωση αυτή είναι «ανοικτό», δηλάδή υπάρχει αμφίδρομη μεταφορά ενέργειας, από τον διεγέρτη προς το μέσο και αντίστροφα.
Στο βιβλίο των Haliday – Resnick (ελλην. μεταφρ. 1976, σελ. 490) γράφει:
«Αν η συχνότητα του δονητή είναι πολύ διαφορετική από τη φυσική συχνότητα του συστήματος, το κύμα που ανακλάται στο στερεωμένο έκρο, επιστρέφοντας, μπορεί να έχει μεγάλη διαφορά φάσης με το δονητή και να δώσει έργο σ’ αυτόν. Δηλαδή το σκοινί μπορεί να δώσει λίγη ενέργεια στο δονητή, όπως μπορεί να πάρει κι από αυτόν. Το «στάσιμο» κύμα δεν έχει σταθερή μορφή και κινείται σπασμωδικά. Κατά μέσο όρο το πλάτος είναι μικρό κι όχι πολύ διαφορετικό από αυτό του δονητή. …».
Η δεύτερη συμπληρωματική ερμηνεία σχετίζεται με την ίδια τη φύση του μέσου.
Ένα σκοινί από τη φύση του δεν νομίζω ότι μπορούμε να το θεωρήσουμε απόλυτα ελαστικό μέσο με γραμμική απόκριση στις παραμορφώσεις, που σημαίνει ότι και το ίδιο το μέσο εισάγει απόσβεση, πέρα από την αντίσταση του αέρα, που μάλλον δεν περιγράφεται από μια σχέση F=-bυ.
Οπότε πιθανώς ένα τέτοιο μέσο δεν έχει απόλυτα διακριτές ιδιοσυχνότητες, αλλά ίσως περιοχές ολόκληρες που η συμπεριφορά του προσεγγίζει περισσότερο ή λιγότερο αυτή του απόλυτα ελαστικού μέσου.
Επισημαίνω ότι την κατάσταση που περιγράφει πιο πάνω ο Haliday ως «σπασμωδική» την συναντάμε κυρίως σε καλοστημένα πειράματα, με καλά ελεγχόμενες συνθήκες, όπου το μέσο μπορεί να έιναι π.χ. μια μεταλλική χορδή με έντονα χαρακτηριστικά ελαστικότητας και ελεγχόμενη τάση, ώστε να έχει αρκετά καλά καθορισμένες ιδιοσυχνότητες.
Διονύση και Βαγγέλη Καλησπέρα.
Το 2ο παράδειγμα Βαγγέλη δεν περιγράφει μια ελεύθερη ταλάντωση, που οι αρχικές συνθήκες επιτρέπουν τον σχηματισμό ενός στάσιμου; Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;
Διονύση η ανάλυσή σου με βρίσκει απολύτως σύμφωνο. Να προσθέσω μόνο ένα σημείο.
Συνήθως χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε ένα στάσιμο την ταλάντωση ενός σχοινιού.
Μήπως το παράδειγμα δεν είναι και τόσο πολύ καλό. Έχω την αίσθηση ότι το σχοινί στο οποίο αναφερόμαστε, δεν είναι τεντωμένο και η ταλάντωση δεν οφείλεται σε δυνάμεις, όπως αυτές που έχουμε στο μυαλό μας. Δηλαδή η κίνησή του δεν οφείλεται σε δυνάμεις που υπακούουν στον νόμο του Hooke.
Βαγγέλη, επανέρχομαι με μια νέα σκέψη πάνω στο 2ο παράδειγμα που δίνεις. Δεν πρόσεξα το αυθαίρετο k.
Μήπως υπονοείς ότι το μέσον είναι έτοιμο με συνθήκες που να οδηγούν σε στάσιμο και η πηγή δεν παίζει κανένα ρόλο; Αν μπορούσαμε να το πραγματοποιήσουμε, αφού είναι προφανώς «νοητικό» πείραμα, πώς είμαστε σίγουροι ότι δεν θα υπάρξει καμιά ροή ενέργειας από την πηγή προς το μέσο με αποτέλεσμα να καταστραφεί η εικόνα που δίνει η μαθηματική εξίσωση;
Καλησπέρα Διονύση Μάργαρη.
Εν μέρει έχεις δίκιο.
Στο παράδειγμα 2 το μέσο είναι έτοιμο να προσαρμοστεί στην κίνση που θα του επιβάλλει ο διεγέρτης. Δεν νομίζω ότι η πηγή δεν παίζει κανένα ρόλο. Αν με κάποιο τρόπο σβήσουμε την πηγή, τότε το μέσον θα αρχίσει να ταλαντώνεται με ένα τρόπο που θα είναι υπέρθεση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης.
Αν ξεκινήσουμε με ακίνητο μέσο και αρχίσουμε να ταλαντώνουμε την μια άκρη η άστατη κίνηση είναι θεωρητικά αναμενόμενη. Αν έχω καταλάβει καλά οι αποσβέσεις αποκαθιστούν στάσιμη κατάσταση.
Το μεγάλο μου ερώτημα είναι γιατί ( όπως λέει το πείραμα) όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι κοντά στις ιδιοσυχνότητες η αποκατάσταση αυτή είναι σχεδόν πλήρης και μακρυά από αυτές είναι μερική οδηγώντας σε άστατη κίνηση.
Διονύση «αισθάνομαι» ότι η ροή ενέργειας δεν θα καταστρέψει την εικόνα. Σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, όταν έχουν παρέλθει τα μεταβατικά φαινόμενα, η ροή ενέργειας από τον διεγέρτη προς τον ταλαντωτή δεν διαταράσσει την εικόνα.
Αν χρησιμοποιήσουμε δυναμική μόνο περιγραφή λύνουμε την εξίσωση του κύματος που έχει την παραπάνω λύση και την προσαρμόζουμε στους περιορισμούς των άκρων y(0)=yδ και y(L)=0 ή όποιες άλλες.
«Αισθάνομαι» πάλι ότι η προσφορά ενέργειας είναι περιοδική όπως και στην εξαναγκασμένη ελατήριο-σώμα. «Ξανααιθάνομαι» ότι η αναλογία των δύο ταλαντώσεων (όχι κύμα τελικά) είναι καταπληκτική.
Άσχετα με το αν και που θα καταλήξουμε η συζήτηση είναι ωφέλιμη αν σκεφτούμε τα κυκλοφορούντα στο εμπόριο και σε φυλλάδια. Το στάσιμο κύμα ήταν κάτι σαν συμβολή. Ο διεγέρτης ήταν σε κοιλία «αυτονόητα» χωρίς αυτό να αναφέρεται. Του δίνανε και ένα πλάτος 10cm και αυτό ήταν το μέγιστο πλάτος. Ζωγραφιζόταν και ένα χέρι που ανεβοκατέβαινε 10 cm γρήγορα σαν να ήταν το χέρι του Λούκυ Λουκ.
Τα στάσιμα σε ηχητικούς σωλήνες το πολύ διπλασίαζαν την ένταση του ήχου. Τώρα πως ακούονταν ο ήχος του αντηχείου ας το εξηγήσουν οι συγγραφείς.
Στους μαθητές μας λέγαμε:
-Αν δεν σας πουν τι είναι η πηγή βάλτε καλού κακού κοιλία.
Όπου και να καταλήξει η συζήτηση καλά έκανε ο Διονύσης και την άνοιξε.
Βαγγέλη, έστω ότι το ένα άκρο της χορδής είναι στερεωμένο ενώ στο άλλο υπάρχει η πηγή που ταλαντώνεται με ένα μικρό πλάτος. Αν η συχνότητα της πηγής είναι τέτοια που στο ένα άκρο να σχηματίζεται δεσμός ενώ στο άλλο, «σχεδόν δεσμός», αφού όπως τόνισε και ο Γιάννης το πλάτος στις κοιλίες είναι πολύ μεγαλύτερο από το πλάτος της πηγής, τότε το μήκος της χορδής θα ικανοποιεί τη σχέση L=nυ/2f. Αυτό δεν δείχνει ότι η συχνότητα δεν μπορεί να είναι οποιαδήποτε;
Αν δεν ικανοποιείται η παραπάνω σχέση, πώς θα μπορούσαν να δημιουργηθούν σταθεροί δεσμοί;
Γιάννη συμβάλλει ίσως κι αυτό που έγραψα στη 2η συμπληρωματική ερμηνεία περί μη γραμμικής απόκρισης …
Μου επεσήμανε φίλος τηλεφωνικά:
Διονύση έχεις τον Αλεξόπουλο;
Βέβαια Κώστα. Καθηγητή τον είχα…
-Ωραία, πήγαινε στη σελίδα 311…
Αντιγράφω λοιπόν (και για να θυμηθούμε λίγο μια … άλλη γλώσσα!)
Μόνιμα στάσιμα κύματα.
Εάν στερεώσωμεν το έν άκρον μακρού σχοινιού και, κρατούντες το άλλο δια της χειρός, το υποβάλλωμεν εις εγκάρσιον ταλάντωσιν…. Εάν η κίνησης της χειρός είναι αρμονική και επαναλαμβάνεται διαρκώς, το προχωρούν προς το σημείον στηρίξεως κύμα συμβάλλει με το ανακλώμενον, δεν δημιουργείται όμως στάσιμον κύμα-ως θ’ αναμένετο- αλλά μια πολύπλοκος ταλάντωσις, Τούτο οφείλεται εις το ότι το επιστρέφον κύμα, όταν φθάση εις την χείρα μας, ανακλάται επ’ αυτής, οπότε, αντί του ενός προς τα δεξιά προχωρούντος κύματος, υπάρχουν δύο. Εκ του συλλογισμού τούτου προκύπτει ότι τα συμβάλλοντα – προχωρούντα και ανακλώμενα – κύματα δεν είναι πλέον δύο, αλλά περισσότερα, τα οποία έχουν διαφόρους φάσεις. Εάν όμως, κινήσωμεν την χείρα μας με κατάλληλον συχνότητα, δυνάμεθα να επιτύχωμεν ώστε η φάσις τους εις την χείραν μας ανακλώμενου κύματος να συμπίπτει με την φάσιν του υπό της χείρας μας παραγόμενου κύματος. Αποτέλεσμα τούτου είναι να δημιουργηθεί καθ’ όλον το μήκος του σχοινιού έν μόνιμον στάσιμον κύμα….
ΥΓ
1) Η υπογράμμιση με κόκκινο στυλό από τότε…
2) Γιατί σχοινίο και όχι νήμα;
3) Λείπουν προφανώς οι τόνοι…
Διονύση μπερδεύτηκα με το σχόλιο συμβάλλει …. απόκρισης.
Ο ρόλος της μη γραμμικότητας είναι ίσως πολύπλοκος. Πως στα ηλεκτρονικά η μη γραμμικότητα γεννά αρμονικές. (Όταν σηκώνεις συνάρτηση στο τετράγωνο γεννάται η διπλάσια συχνότητα). Δεν έχω ασχοληθεί ποτέ με το θέμα.
Ούτε εγώ έχω ασχοληθεί Γιάννη.
Την ανέφερα σκεπτόμενος ότι ίσως εισάγει κάποια «μεταβλητή απόσβεση», με αποτέλεσμα να διευρύνει σε περιοχές τιμών τις τιμές των ιδιοσυχνοτήτων.
Διονύση ο Αλεξόπουλος είναι ένα μεγάλο όνομα. Όμως τι λάθος υπάρχει στους υπολογισμούς του άρθρου που επεσύναψα και σ’ αυτούς του Βαγγέλη;
Το πείραμα διαψεύδει το προαναφερθέν εκτός βέβαια αν ονομάζουμε στάσιμο κύμα μια ταλάντωση αποκλειστικά με συχνότητα μια από τις ιδιοσυχνότητες. Η στροβοσκοπική παρατήρηση στο βίντεο του ΕΚΦΕ Καλλίπολης δείχνει καθαρά τα σημεία της χορδής πάνω σε αρμονική καμπύλη. Δείχνει επίσης δεσμούς και κοιλίες. Αυτό είναι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση;
Η διαφορική εξίσωση παύει να έχει λύση την y(x,t)=Aημ(kx)συν(ωt) στη μόνιμη κατάσταση;
Σ’ αυτό που έστειλε ο Σαράντος επίσης φαίνεται ότι μεταβάλλοντας τη συχνότητα έχω συνεχή μεταβολή του πλάτους.
Διονύση γράφαμε μαζί. Ίσως εκτός από την απόσβεση που λες γεννά και αρμονικούς όρους που επιβιώνουν αν έχουν συχνότητα f=κ.(υ/2L).
Να συμπληρώσω ότι στο στάσιμο έχουμε συνεχείς ανακλάσεις και συνεχή προσφορά ενέργειας. Γι’ αυτό και μια ασήμαντη ταλάντωση ενισχύεται τόσο. Το ότι υπάρχουν διαφορές φάσης και περισσότερα από δύο κύματα που οδεύουν προς τα δεξιά δημιουργεί μια περίεργη κατάσταση που όμως αίρεται όταν λήξουν τα μεταβατικά φαινόμενα. Η λύση του άρθρου αφορά στη μόνιμη κατάσταση.
Εγώ δεν βλέπω λάθος στη λύση. Το ότι έβγαλα την ίδια ακριβώς εξίσωση κινηματικά όμως ίσως είναι συμπτωματικό. Ποιο λάθος έγινε στους υπολογισμούς του άρθρου και ποιο στους δικούς μου;
Η θέση μου φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:
Αλλαγή συχνότητας σημαίνει αλλαγή της απόστασης εικονικού δεσμού-πηγής και μεταβολή του πλάτους. Η καμπύλη «μεγαλώνει» προκειμένου να «χωρέσει» το σταθερό πλάτος της πηγής. Όταν η πηγή πάει στον δεσμό το πλάτος θα πήγαινε στο άπειρο αλλά η μη γραμμικότητα και οι αποσβάσεις δεν το επιτρέπουν.
Καλημέρα Γιάννη
Γράφεις: « Γι’ αυτό και μια ασήμαντη ταλάντωση ενισχύεται τόσο.»
Νομίζω ότι όπως έχω ξαναπεί αυτό είναι το σημαντικό σε όλο το φαινόμενο που μελετάμε.
Αν λοιπόν στο ένα άκρο έχουμε μια πηγή με σταθερό πλάτος ταλάντωσης Α (μικρής τιμής), τότε το σχήμα που έδωσες είναι σωστό και μπορεί να ερμηνεύσει την κατάσταση, δεχόμενοι ότι έχει δημιουργηθεί μόνιμο στάσιμο κύμα.
Αν μειώσουμε λίγο όμως τη συχνότητα και αντίστοιχα αυξηθεί το μήκος κύματος, θα πρέπει να πάμε στην κατάσταση του παρακάτω σχήματος, όπου η πηγή πρέπει να ταλαντώνεται με πλάτος μεγαλύτερο του πλάτους Α. Αυτό πώς θα γίνει; Είναι συμβατή η κατάσταση με δημιουργία μόνιμης κατάστασης;
Είναι απολύτως συμβατή διότι «φουσκώνουν» οι κοιλίες ώστε να χωρέσει το πλάτος του διεγέρτη.
Στο σχήμα που έστειλα εγώ το πλάτος του διεγέρτη είναι Α και των κοιλιών κάτι παραπάνω από 2Α.
Στο δικό σου σχήμα το πλάτος του διεγέρτη είναι πάλι Α ενώ των κοιλιών λίγο μεγαλύτερο από Α. Δηλαδή είσαι σχεδόν σε αντισυντονισμό. Και στα δύο σχήματα η απόσταση πηγής-ακλόνητου άκρου είναι η ίδια. Αυτό που μετακινείται είναι ο εικονικός δεσμός και όχι η πηγή. Όταν ο εικονικός δεσμός πλησιάζει την πηγή μεγαλώνει το πλάτος όχι της πηγής αλλά των κοιλιών.
Δεν προσαρμόζεται δηλαδή το πλάτος της πηγής στο πλάτος του στάσιμου αλλά το αντίθετο. Αυτή είναι και για γραφική εξήγηση του συντονισμού.
Σύμφωνοι Γιάννη. Αλλά για να δούμε πού οδηγεί αυτός ο συλλογισμός.
Για πλάτος ταλάντωσης της πηγής 2mm, το πλάτος των κοιλιών θα είναι κάτι περισσότερο από 2mm, ας πούμε 3mm. Αλλά τότε αναιρείται το βασικό στοιχείο που είχες εσύ αναφέρει για το φαινόμενο. Και το στοιχείο αυτό είναι το πολύ μεγαλύτερο πλάτος στις κοιλίες, σε σχέση με το πλάτος της πηγής. Μήπως λοιπόν στην περίπτωση αυτή και άσχετα με το αν δημιουργηθεί μόνιμη ή όχι στάσιμο κατάσταση, δεν έχει ουσιαστική αξία η μελέτη του φαινομένου, ενώ το ουσιαστικό φαινόμενο εμφανίζεται στην περίπτωση του συντονισμού;
Διονύση δεν αναιρείται το βασικό στοιχείο. Το αντίθετο ακριβώς. Όταν πλησιάζουμε μια συχνότητα της χορδής τότε ο εικονικός δεσμός πλησιάζει την πηγή. Το πλάτος της πηγής παραμένει 2 mm αλλά για να «χωρέσει» στο σχήμα το πλάτος της πηγής, το πλάτος του στάσιμου γίνεται 10cm (όχι mm). Πλησιάζει και άλλο και το πλάτος των κοιλιών τείνει στο άπειρο. Θα γινόταν άπειρο αν δεν είχαμε αποσβέσεις αλλά τότε δεν θα είχαμε στάσιμο όπως δείχνει η ανάλυση του Βαγγέλη. Όπως δηλαδή σε εξαναγκασμένη χωρίς απόσβεση δεν έχουμε αρμονική ταλάντωση εκτός συντονισμού.
Η γραφική μέθοδος υπολογισμού του πλάτος των κοιλιών συναρτήσει του πλάτους της πηγής θα μπορούσε να οδηγήσει ακόμα και σε στρεφόμενο διάνυσμα αλλά δεν έχω ασχοληθεί.
Μα, το βασικό θέμα που τίθεται νομίζω Γιάννη, είναι αν σε κάθε περίπτωση έχουμε στάσιμο ή μόνο στην περίπτωση του συντονισμού.
Και όταν μιλάμε για συντονισμό, ακόμη και στην ΑΑΤ υλικού σημείου, μπορεί τα μαθηματικά να βγάζουν ότι συμβαίνει για μια ορισμένη συχνότητα του διεγέρτη, αλλά στην πράξη συμβαίνει στην πραγματικότητα για μια περιοχή συχνοτήτων, γύρω από την ιδιοσυχνότητα.
Θέλω να πω, μήπως το βασικό φαινόμενο του στάσιμου στην περίπτωση της εξαναγκασμένης, παρατηρείται στην περίπτωση που η συχνότητα της πηγής είναι περίπου ίση με κάποια από τις ιδιοσυχνότητες ή αν πάντα έχουμε στάσιμο.
Αυτό δεν το ξέρω. Δεν τα καταφέρνω σε ορισμούς. Το στάσιμο κύμα είναι κάθε παρόμοια εξίσωση ή η κατάσταση συντονισμού;;Θα πω απλά ότι σε κάθε συχνότητα θα βλέπουμε δεσμούς και κοιλίες. Όσο πλησιάζουμε τις συχνότητες της χορδής θα έχουμε θεαματική αύξηση του πλάτους των κοιλιών. Η αύξηση δεν είναι γραμμική και τα φαινόμενα είναι ενδιαφέροντα σε μια στενή περιοχή συχνοτήτων. Πάντως όποια θέση και να δικαιωθεί βιβλιογραφικά η συζήτηση απέδωσε.
Και δεν έχει και μεγάλη αξία. Το θέμα είναι ότι θα συμφωνήσουμε αν μας δώσουν τις ιδιοσυχνότητες, το πλάτος της πηγής και μας ζητήσουν να προβλέψουμε το πλάτος των κοιλιών. Αυτό έχει αξία και όχι η ονοματολογία.
Χορδές
Εάν χορδήν, στερεωμένην εις τα δύο άκρα της, κτυπήσωμεν καθέτως εις τι σημείον αυτής, θα δημιουργηθή μία διαταραχή, η οποία θα διαδοθεί εκατέρωθεν του σημείου του κτυπήματος. Θα εξετάσωμεν την διάδοσιν ενός εκάστου κύματος ιδιαιτέρως και δη εις την περίπτωσιν, κατά την οποία η διαταραχή, την οποίαν προκαλούμεν, είναι αρμονική:
Κατά τ’ ανωτέρω, το προς τα δεξιά, π.χ. διαδιδόμενον κύμα, αφού φθάση εις το στερεωμένον άκρον, ανακλάται και, επιστρέφον συμβάλλει μετά του αρχικού.
Εκ της συμβολής ταύτης προκύπτει εν στάσιμον κύμα (σχ. δεξιά). Το αυτό συμβαίνει και με το κύμα, το οποίον διαδίδεται προς τ’ αριστερά, παραγόμενου ούτω, ενός δευτέρου στασίμου κύματος. Εάν το μήκος της χορδής είναι τυχαίον, αι κοιλίαι και ο ιδεσμοί των δύο στασίμων κυμάτων δεν συμπίπτουν και, συνεπώς, η επαλληλία θα δίδει μίαν πολύπλοκον κίνησιν.
Εάν όμως, το μήκος της χορδής είναι τοιούτον, ώστε οι δεσμοί και αι κοιλίαι των δύο στασίμων κυμάτων συμπίπτουν, τότε δημιουργείται εν μόνιμον στάσιμον κύμα.
Εκ του συλλογισμού τούτου προκύπτει ότι, δια να δημιουργηθεί μόνιμα στάσιμα κύματα εις μίαν χορδήν, πρέπει το μήκος L αυτής, να είναι ακέραιον πολλαπλάσιον της αποστάσεως μεταξύ δύο δεσμών, δηλαδή του λ/2. Ήτοι πρέπει να είναι:
L=n∙λ/2.
Επίσης από το βιβλίο του Αλεξόπουλου, σελ 312.
ΥΓ.
1) Η υπογράμμιση με κόκκινο από τότε…
2) Μάλλον είμαι αθεράπευτος και αδιόρθωτος Αλεξοπουλικός…
Ναι αυτό είναι προφανές. Οι συχνότητες που δεν θα σχηματίσουν στάσιμα θα αποβιώσουν και θα επιβιώσουν μόνο αυτές που δίνουν στάσιμα.
Αυτό φαίνεται καλά στο applet βιολί.
Φυσικά ο Αλεξόπουλος μιλά για χορδή με στερεωμένα τα δύο άκρα.
Ο Σαράντος είχε στείλει ένα βίντεο στο οποίο ο κιθαρίστας έπνιγε τις αρμονικές και κρατούσε τη θεμελιώδη.
Και εγώ είμαι Αλεξοπουλικός αλλά πρόκειται για διαφορετικό πρόβλημα.
Ο τύπος που ξαναστέλνω:
επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων του τύπου:
«Βρείτε το μέγιστο πλάτος της χορδής αν το πλάτος ταλάντωσης του διεγέρτη είναι 2 mm.
Γνωστά με κάποιο τρόπο το μήκος της χορδής και το μήκος κύματος. Ή η τάση της χορδής και η συχνότητα του διεγέρτη.
Δεν θα επιμείνω στο αν ονομάζεται ή όχι στάσιμο. Ο υπολογισμός και τα παρεπόμενα συμπεράσματα με ενδιαφέρουν.
Και κάτι πάνω στο βιολί.
Όταν μιλάμε για πολύπλοκη κυματική κατάσταση, μήπως αυτό εννοούμε;
Αυτή η πολύπλοκη, στην πράξη μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα αρμονικών.
Α δεν το ξέρω. Άθροισμα αρμονικών= πολύπλοκη;
Γιατί όχι;
Ούτε και γω Γιάννη το ξέρω. Μια ιδέα κατέθεσα. Σωστή, λάθος δεν το ξέρω.
Ας το σκεφτούμε.
Στέλνω δύο αρχεία, το geogebra και την html εκδοχή.
Φαίνεται για διάφορες τιμές της ταχύτητας διάδοσης και της συχνότητας η σχέση του πλάτους του διεγέρτη (σημείο Α δεξιά) και τα πλάτη των κοιλιών..
Στάσιμο html
Στάσιμο geogebra