Θέμα 3 επαναληπτικών εξετάσεων 2004 Γενικού λυκείου

Posted on by

Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Θεολογίτης Χαράλαμπος στις 27 Ιανουάριος 2010 στις 15:39 

Έχω μια απορία σχετικά με ένα παλιό θέμα εξετάσεων 2004 επαναληπτικές Γενικού λυκείου έχουμε τα εξής:

Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στα
σημεία Α και Β αντίστοιχα της ελεύθερης επιφάνειας νερού
και προκαλούν όμοια εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με
ταχύτητα u = 0,5 m/s. Ένα σημείο Κ της επιφάνειας του
νερού βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και απέχει
από τα Α και Β αποστάσεις (ΑΚ) = r1 και (ΒΚ) = r2 με r1 > r2.
Tο σημείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το μέσο Μ του ΑΒ
που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. Η απομάκρυνση του
σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας λόγω της συμβολής των
κυμάτων περιγράφεται σε συνάρτηση με το χρόνο t από την
εξίσωση y = 0,2ημ (5π/3)(t – 2) (σε μονάδες S.I.).
Να υπολογίσετε:
α. την περίοδο, το μήκος κύματος και το πλάτος των
κυμάτων που συμβάλλουν.
β. την απόσταση ΑΒ των δύο πηγών.
γ. τις αποστάσεις r1 και r2 του σημείου Κ από τα
σημεία Α και Β.
δ. τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος
ΑΒ που λόγω της συμβολής έχουν πλάτος ίσο με το
πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ.
************************************************************************
Για διευκόλυνση τα μεγέθη που προκύπτουν είναι:
Α=0,1m
f=5/6 Hz
λ=0,6m
Αυτό που με νοιάζει είναι το τρίτο ερώτημα:
Αφού το Κ είναι ο πλησιέστερος κροσσός συμβολής θα πρέπει r1-r2=1λ (1).
Έχουμε και r1+r2=10λ/3 (2) άρα θα μας δώσει r1=1.3m και r2=0.7m.
Aν όμως αντικαταστήσω στην γενική εξίσωση της συμβολής θα προκύψει για το πλάτος ότι
συν(π*(r1-r2)/λ)=συν(π) άρα -1 επομένως το πρώτο μέγιστο θα έχει απομάκρυνση -Α δηλαδή θα είναι προς τα κάτω.
Όλα καλά μέχρι εδώ, ώσπου ένας συνάδερφος προτείνει ότι επειδή συμβαίνει αυτό θα πρέπει να βάλω και μια φάση στο ημίτονο και να το γράψω
ημ(ωτ-π(r1+r2)/λ-π)
ώστε να έχω σωστά αποτελέσματα Μου τόνισε επίσης πως ο Μαθιουδάκης-Παναγιωτακόπουλος στην νέα του έκδοση,σε παρόμοια άσκηση βάζει και αυτός μια «αρχική φάση». Μάλιστα νομίζω πως μου είπε ότι κατασκευάζει την συγκεκριμένη φάση με μαθηματικά.
Εγώ διαφωνώ με αυτή την προσέγγιση γιατί αλλάζοντας την φάση συμβαίνουν τα εξής:
– απομακρύνουμε τις πηγές μεταξύ τους
– ή πλέον δεν έχουμε σύγχρονες πηγές
οπότε πλέον δεν μιλάμε για το ίδιο αρχικό πρόβλημα.
Σημειώνω πως δεν έχω ακόμα αγοράσει το βοήθημα. Αν κάποιος το έχει να με διορθώσει αν κάνω λάθος στην δικαιολόγηση που δίνει.
Περιμένω τις απόψεις σας με φοβερό ενδιαφέρον γιατί το συγκεκριμένο το έγραψε και μαθητής σε άσκηση, αφού το είδε στο εν λόγω βοήθημα.
Τα σχόλιά μας. 

Καταγραφή.PNGΑπάντηση από τον/την Τριανταφυλλίδης Αστέριος στις 27 Ιανουάριος 2010 στις 17:09

Γεια σου Χαράλαμπε
Στο παρακάτω link υπάρχει αντίστοιχος προβληματισμός και απο το συνάδελφο Χρήστο Ασημακόπουλοhttp://dmargaris2.blogspot.com/2009/04/blog-post_8771.html

Καταγραφή1.PNGΑπάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 27 Ιανουάριος 2010 στις 20:34

Η εκφώνηση είναι από «μπερδεμένη» έως λανθασμένη.Ο «όρος» 2Ασυν2π(r1-r2)/2λ
για το σημείο Μ είναι θετικός
για το σημείο της πρώτης ενισχυτικής συμβολής αρνητικός
και για το σημείο της δεύτερής ενισχυτικής συμβολής θετικόςΗ άσκηση αντί του:
Tο σημείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το μέσο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος.Έπρεπε να γράφει:
Tο σημείο Κ είναι το δεύτερο μετά το μέσο Μ που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος.

Δηλαδή r1-r2=2λ

Την ίδια γνώμη έχει εκφράσει και ο κ. Σφαρνάς σε άλλη συζήτηση.

 Απάντηση από τον/την Θεολογίτης Χαράλαμπος στις 28 Ιανουάριος 2010 στις 0:27

Σας ευχαριστώ πολύ για τα σχόλια σας.Διάβασα με ενδιαφέρον την ανάρτηση του Χρήστου Ασημακόπουλου. Λέει ακριβώς όσα λέει και ο συνάδελφος μου.

Η ένσταση που έχω είναι θεωρώ εντελώς αυθαίρετο τον χειρισμό της εξίσωσης και την φάση σε π. Όχι μόνο αυθαίρετη αλλά και λάθος.

Εξηγώ το γιατί:

Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης των κυμάτων είναι εξίσωση που προκύπτει από την άθροιση δύο άλλων εξισώσεων:

y1=A ημ2π(t/T – r1/λ) και y2=A ημ2π(t/T – r2/λ)

Αν στην τελική εξίσωση προκύπτει μια αρχική φάση τότε αυτή θα πρέπει να υπάρχει και στις αρχικές εξισώσεις, και όχι να την προσθέτω για να ταιριάξω τα δεδομένα.

Ας σκεφτούμε το παρακάτω:

y1=A ημ2π(t/T – r1/λ +φ)
y2=A ημ2π(t/T – r2/λ +φ)

οι εξισώσεις δύο κυμάτων, που προέρχονται από σύγχρονες πηγές. Χρησιμοποιώντας καθαρά την ίδια μεθοδολογία θα έχουμε

y=y1+y2= 2Ασυν(2π (r1-r2)/2λ)ημ2π(t/T – (r1+r2)/2λ + φ)

Αυτό σημαίνει ότι ότι αρχική φάση έχουν τα δύο κύματα τόση θα είναι είναι και η αρχική φάση του συνιστάμενου κύματος.

Μαθηματικά ο χειρισμός του να απορροφήσω το πρόσημο βάζοντας μια φάση π είναι σωστός αλλά είναι σωστός από φυσικής πλευράς; Μήπως αλλάζω τα δεδομένα της άσκησης και μετακινώ τις πηγές κατά βούληση ώστε να ταιριάζουν στα δεδομένα μου;
Οπως παρατηρεί και ο Βουζίκης Αντώνης στα σχόλια της ανάρτησης

http://dmargaris2.blogspot.com/2009/04/blog-post_8771.html

Αφού το θέμα της ανάρτησης είναι ο προβληματισμός, να θέσω και εγώ έναν:
Γιατί αφαιρώντας το «-«μπροστά από την εξίσωση προσθέτουμε +π στη φάση και όχι -π ή +3π ή γενικά +(2κ+1)π με κ=0,+1,-1,+2,-2…;

Μήπως ισχύει και εδώ ο περιορισμός της αρχικής φάσης 0<=φ<=2π; Δεν θα μπορούσα με κάθε κατάλληλο χειρισμό να πάρω όλα τα πιθανά αποτελέσματα 🙂

Δέχομαι πάντως ότι πιθανός το θέμα να διατυπώθηκε λάθος. Σε αρκετά βιβλία φροντιστηριακά το θέμα υπάρχει με -0,2ημ (5π/3)(t – 2) (Κάτσικας, Παπαθεοδώρου-Λιανού) οπότε το θέμα λήγει.

Δεν ξέρω αλλά αισθάνομαι παράξενα που ενώ είναι θετική η επιστήμη μας δεν μπορούμε να αποφασίσουμε τελεσίδικα για αυτό το θέμα. Να ξέρουμε τι να πούμε και στους μαθητές μας (όταν και αν κάποιοι πιο ψαγμένοι ρωτήσουν. Αν και αφού εμφανίστηκε σαν λύση στον Μαθιουδάκη-Παναγιωτακόπουλο τότε μάλλον θα το ξαναπετύχουμε.)

Απάντηση από τον/την Θεολογίτης Χαράλαμπος στις 29 Ιανουάριος 2010 στις 12:31

Από ότι φαίνεται κατάφερα και έβγαλα τον εαυτό μου λάθος.
Αποφάσισα να κάνω μερικά διαγράμματα με την Mathematica ώστε να δω ποια από τις δύο λύσεις είναι πιο σωστή.
Υπενθυμίζω ότι η λύση που δίνουν διάφορα βοηθήματα είναι r1=1,3m, r2=0,7m σχετικά με την απόσταση των πηγών από το σημείο Κ, (από ότι έμαθα από ένα συνάδελφο διορθωτή, αυτή είναι και η λύση που ακολούθησαν οι διορθωτές των εξετάσεων).
Αν όμως η λύση γίνει σύμφωνα με τον κ. Ασημακόπουλο Χρήστο,
http://dmargaris2.blogspot.com/2009/04/blog-post_8771.html
και όπως προτείνετε στη νέα έκδοση των Μαθιουδάκη-Παναγιωτακόπουλο, αλλάζοντας δηλαδή την φάση κατά +π, τότε οι δύο αποστάσεις θα είναι r1=1,6m, r2=1m.
Όπως φαίνεται από τα διαγράμματα που έκανα είναι και η σωστή.
Το αρχείο pdf περιέχει όλα τα διαγράμματα που για μένα αποτελούν απόδειξη.Επισυνάπτω και το notebook της Mathematica ώστε να ελεγχθεί για λάθη.
Η απορία όμως που έχω είναι η εξής:Διορθώθηκε ένα ολόκληρο θέμα εξετάσεων λάθος; Δεν το πρόσεξε κανείς ή ο συνάδελφος μου θυμάται λάθος;
Συνημμένα:

Καταγραφή1.PNGΑπάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 29 Ιανουάριος 2010 στις 16:33

Σύμφωνα με τις γνώσεις των μαθητών περί συμβολής η εκφώνηση είναι λανθασμένη οπότε αναπόφευκτα οι λύσεις που κυκλοφορούν είναι λανθασμένες.Παραπάνω έγραψα τη σωστή διατύπωση για τους μαθητές.

Απάντηση από τον/την Μιχαλόπουλος Γιάννης στις 29 Ιανουάριος 2010 στις 21:16

O συνάδελφος Χαράλαμπος έγραψε:«οι εξισώσεις δύο κυμάτων, που προέρχονται από σύγχρονες πηγές……..
y=y1+y2= 2Ασυν(2π (r1-r2)/2λ)ημ2π(t/T – (r1+r2)/2λ + φ)Αυτό σημαίνει ότι ότι αρχική φάση έχουν τα δύο κύματα τόση θα είναι είναι και η αρχική φάση του συνιστάμενου κύματος.»Αν λοιπόν η αρχική φάση φ=π τότε η εξίσωση που δόθηκε είναι μια χαρά. Το αρνητικό πρόσημο που θα έπρεπε να είχε «απορροφάται» από την παρουσία της φάσης π στον ημιτονοειδή όρο.

Για τον υπολογισμό του r1+r2 όμως δεν θα υπολογίσουμε τον όρο π. Η συνεισφορά των αποστάσεων r1, r2 στην διαμόρφωση της αρχικής φάσης της ταλάντωσης του σημείου Κ εξακολουθεί να είναι ο όρος – 2π(r1+r2)/2λ . Συνεπώς η σωστή απάντηση είναι αυτή που έγινε δεκτή στα βαθμολογικά κέντρα, r1+r2=2m.

Η διαδικασία όμως για να φτάσει κανείς στην σωστή απάντηση με ορθό τρόπο δεν ήταν μέσα στις δυνατότητες των εξεταζόμενων μαθητών. Μάλλον λοιπόν και όσοι υποψιάστηκαν την γκάφα έκαναν τα στραβά μάτια.

Λέω για γκάφα γιατί δεν πιστεύω ότι αυτοί που έδωσαν το θέμα περίμεναν μιά λύση βασισμένη στην ύπαρξη αρχικής φάσης. Κάπου βρήκαν την άσκηση και την έλυσαν όπως οι μαθητές. Φαντάζομαι ότι πολύ εύκολα εγώ θα «πατούσα την πεπονόφλουδα»

Σχετικά τώρα με το αν έχει φυσική σημασία μια αρχική φάση = π , νομίζω ότι δεν είναι παράλογο να θεωρήσουμε ότι οι πηγές αρχίζουν να κινούνται προς τα κάτω. Ιδιαίτερα αν φανταστούμε ότι μιλάμε για συμβολή στην επιφάνεια υγρού. Στην περίπτωση αυτή αρχική φάση = 0 μου φαίνεται πιο εξωπραγματική. Σαν να πετάμε βότσαλο την λίμνη και το νερό να αρχίζει να κινείται προς τα πάνω.

Απάντηση από τον/την Φώτης Λουφάκης στις 30 Ιανουάριος 2010 στις 17:57

Συμφωνώ με την αντιμετώπιση του Θεολογίτη Χαράλαμπου, αλλά νομίζω ότι δεν μπορούμε να συμφωνήσουμε σε σωστή λύση, γιατί δεν υπάρχει μία μόνο!
Συνημμένα:

 Απάντηση από τον/την Δημήτρης Μακρυνικόλας στις 10 Νοέμβριος 2010 στις 15:32

Κατ’ αρχάς θέλω να σε συγχαρώ, συνάδελφε Θεολογίτη, για την πρωτοβουλία σου να επισημάνεις ένα θέμα, που, όπως όλοι μας αντιλαμβανόμαστε, ήταν εξαιρετικά δύσκολο έως αδύνατο να απαντηθεί σωστά από μαθητές Λυκείου στη διάρκεια τρίωρης εξέτασης.
Από την πλήρη λύση του θέματος (την οποία παραθέτω στη διεύθυνση:https://sites.google.com/site/macrynikolas/system/app/pages/admin/a…), φαίνεται ότι μόνο το ερώτημα α έχει μοναδική λύση Α=0,1 , Τ=1,2 και λ=0,6 , ενώ τα ερωτήματα β, γ και δ έχουν άπειρες λύσεις, αφού εξαρτώνται από την απόσταση των πηγών ΑΒ=r1+r2 , που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη ή ίση του λ=0,6.
Τα παράδοξα, που υποδεικνύεις με τις πολύ εύστοχες παρατηρήσεις σου, συμβαίνουν γιατί η δοσμένη εξίσωση ψ=0,2ημ(5π/3)(t-2) (1) και η γενική εξίσωση της συμβολής
ψ=2Ασυν[2π(r1-r2)/2λ]ημ2π[t/T-(r1+r2)/2λ] (2) δεν έχουν την ίδια αρχή μέτρησης των χρόνων.
Πραγματικά, για t=0 η (1) δίνει απομάκρυνση ψ=0,2ημ(-10π/3) , δηλαδή εντελώς συγκεκριμένη τιμή. Αντίθετα, για t=0 η (2) δίνει την ακόλουθη απομάκρυνση (αφού r1-r2=λ, όπως φαίνεται στην παρατιθέμενη πλήρη λύση) ψ=2*0,1συν[2πλ/2λ]ημ2π[-(r1+r2)/2λ] ,
ψ=-0,2συνπημ[2π(r1+r2/2λ] , ψ=0,2ημ[2π(r1+r2)/1,2] , δηλαδή τιμή που εξαρτάται κάθε φορά από την απόσταση r1+r2 μεταξύ των δύο πηγών.
Επομένως, οι τιμές t του χρόνου στις (1) και (2) δεν είναι ίδιες και άρα δεν μπορούμε να εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη των (1) και (2) για να βρούμε τιμές όπως η r1+r2=10λ/3 , που προτείνεις.

Απάντηση από τον/την Δημήτρης Μακρυνικόλας στις 19 Νοέμβριος 2010 στις 16:28

Επειδή παρουσιάσθηκαν δυσκολίες στην ανεύρεση της λύσης στην παραπάνω διεύθυνση, η πλήρης λύση του θέματος 3 των επαναλήπτικών εξετάσεων 2004 στη Φυσική παρατίθεται στην ακόλουθη διεύθυνση: https://sites.google.com/site/macrynikolas/

Σχολιάστε